Question

В магазин поступили электрические лампочки одного типа, изготовленные на четырех ламповых заводах: с 1-го завода 250 шт., со 2-го – 525 шт., с 3-го – 275 шт. и с 4-го – 950 шт. Вероятность того, что лампочка прогорит более 1500 часов, для 1-го завода равна 0,15, для 2-го – 0,30, для 3-го – 0,20, для 4-го – 0,10. При раскладке по полкам магазина лампочки были перемешаны. Какова вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов?

Answer 1

Событие А состоит в том, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов. Гипотеза $H_1$ - изготовлена I заводом, $H_2$ - II заводом, $H_3$ - III третьим заводом и $H_4$ - IV заводом.

$P(H_1)=\dfrac{250}{2000} =0.125\\ P(H_2)=\dfrac{525}{2000} =0.2625\\P(H_3)=\dfrac{275}{2000} =0.1375\\P(H_4)=\dfrac{950}{2000} =0.475$

Условные вероятности заданы в условии задачи:

$P(A|H_1)=0.15\\ P(A|H_2)=0.3\\ P(A|H_3)=0.2\\P(A|H_4)=0.1$

По формуле полной вероятности:

$P=P(A|H_1)P(H_1)+P(A|H_2)P(H_2)+P(A|H_3)P(H_3)+P(A|H_4)P(H_4)$

$P(A)=0.15\cdot0.125+0.3\cdot0.2625+0.2\cdot0.1375+0.1\cdot0.475=0.1725$

Ответ: 0,1725.

Answer 2

Давайте обозначим события:

• $A_1$ - лампочка выбрана из 1-го завода,
• $A_2$ - лампочка выбрана из 2-го завода,
• $A_3$ - лампочка выбрана из 3-го завода,
• $A_4$ - лампочка выбрана из 4-го завода,
• $B$ - лампочка прогорит более 1500 часов.

Из условия известны следующие вероятности:

$$\begin{align*} P(B|A_1) &= 0.15 \\ P(B|A_2) &= 0.30 \\ P(B|A_3) &= 0.20 \\ P(B|A_4) &= 0.10 \\ \end{align*}$$

Также известно количество лампочек на каждом заводе:

$$\begin{align*} P(A_1) &= \frac{250}{250 + 525 + 275 + 950} \\ P(A_2) &= \frac{525}{250 + 525 + 275 + 950} \\ P(A_3) &= \frac{275}{250 + 525 + 275 + 950} \\ P(A_4) &= \frac{950}{250 + 525 + 275 + 950} \\ \end{align*}$$

Теперь мы можем использовать формулу полной вероятности:

$$P(B) = P(B|A_1) \cdot P(A_1) + P(B|A_2) \cdot P(A_2) + P(B|A_3) \cdot P(A_3) + P(B|A_4) \cdot P(A_4)$$

Подставим известные значения:

$$\begin{align*} P(B) &= 0.15 \cdot \frac{250}{250 + 525 + 275 + 950} + 0.30 \cdot \frac{525}{250 + 525 + 275 + 950} + 0.20 \cdot \frac{275}{250 + 525 + 275 + 950} + 0.10 \cdot \frac{950}{250 + 525 + 275 + 950} \\ &= \frac{37.5 + 157.5 + 55 + 95}{250 + 525 + 275 + 950} \\ &= \frac{345}{2000} \\ &= 0.1725 \end{align*}$$

Таким образом, вероятность того, что купленная лампочка прогорит более 1500 часов, составляет 0.1725 или 17.25%.