Question

1 курс!!! Помогите Привести квадратичную форму к каконическому виду: х1^2+4х1х2+4х2х3+х3^3

Answer 1

X1+8x^2+24x^2+x27
x+8x^2+24x^2+27x
28x+32x^2

Answer 2

Чтобы привести данную квадратичную форму к каноническому виду, нужно выразить её в виде суммы квадратов переменных. Канонический вид квадратичной формы выглядит следующим образом:

$Q(x_1, x_2, x_3) = a_1y_1^2 + a_2y_2^2 + a_3y_3^2 + \ldots + a_ny_n^2,$

где $y_1, y_2, \ldots, y_n$ - новые переменные, а $a_1, a_2, \ldots, a_n$ - коэффициенты.

Для вашей квадратичной формы $Q(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2x_3 + x_3^2$, мы можем преобразовать её следующим образом:

\begin{align*} Q(x_1, x_2, x_3) &= x_1^2 + 4x_1x_2 + 4x_2x_3 + x_3^2 \ &= x_1^2 + 2(2x_1x_2) + 4x_2x_3 + x_3^2 \ &= x_1^2 + 2(2x_1x_2 + 2x_2x_3) + x_3^2 \ &= (x_1^2 + 2(2x_1x_2 + 2x_2x_3) + x_3^2) - 4x_1x_2 - 4x_2x_3 \ &= (x_1^2 + 2(2x_1x_2 + 2x_2x_3) + x_3^2) - 4(x_1x_2 + x_2x_3). \end{align*}

Теперь мы можем выделить полные квадраты:

\begin{align*} Q(x_1, x_2, x_3) &= (x_1^2 + 2(2x_1x_2 + 2x_2x_3) + x_3^2) - 4(x_1x_2 + x_2x_3) \ &= (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - 4x_1x_2 - 4x_2x_3. \end{align*}

Теперь квадратичная форма приведена к каноническому виду:

$Q(x_1, x_2, x_3) = (x_1 + 2x_2 + x_3)^2 - 4x_1x_2 - 4x_2x_3.$