Question

Есть квадрат 1 на 1, его поделили на n треугольников - именно треугольников. и доказать, что есть треугольник, которым можно покрыть квадрат (1/ n) x (1/n)

Answer 1

Заметим, что у любого треугольника внутри квадрата со стороной 1 периметр не может превышать $2\sqrt{2}$. По принципу Дирихле, у нас найдется треугольник площадь которого не меньше $1/n$. Тогда радиус вписанной окружности для этого треугольника

$r=\frac{S}{p} \ge \frac{1/n}{\sqrt{2}}$

А это значит, что в него можно вписать квадрат со стороной $1/n$, что и требуется.

Answer 2

Чтобы доказать это утверждение, давайте рассмотрим, как можно разделить квадрат 1x1 на n треугольников и покрыть его треугольником размером (1/n) x (1/n).

1. Разделите квадрат на n равных горизонтальных полос шириной 1/n. То есть, разделите его на n строк.

2. Теперь разделите каждую из этих n строк на n равных вертикальных полос шириной 1/n. Таким образом, вы разделяете каждую строку на n столбцов.

3. Теперь у вас есть квадрат, разделенный на n x n маленьких квадратов размером (1/n) x (1/n).

4. Каждый из этих маленьких квадратов можно легко превратить в треугольник, используя две диагонали, которые соединяют противоположные вершины квадрата. Эти диагонали будут образовывать два треугольника внутри каждого маленького квадрата.

5. Таким образом, каждый из маленьких квадратов (1/n) x (1/n) может быть покрыт двумя треугольниками, образованными диагоналями. Поскольку у нас есть n x n таких маленьких квадратов, мы можем покрыть всю площадь квадрата 1x1 с использованием этих треугольников.

Таким образом, мы показали, что можно разделить квадрат 1x1 на n треугольников, каждый из которых имеет размер (1/n) x (1/n), и покрыть квадрат с использованием этих треугольников.