Question

В партии из 20 деталей имеется 16 исправных. Наугад отобраны 18 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей 15 исправных.

Answer 1

Всего есть $C^{18}_{20} = \dfrac{20!}{(20 - 18)! \cdot 18!} = 190$ способов выбора 18 деталей из 20 (без учета порядка).

Из них нужно выбрать 15 исправных деталей из 16 (без учета порядка) — это $C^{15}_{16} = 16$ способов.

Тогда 3 остальных детали будут неисправны — это $C^{3}_{4} = 4$ способа.

Следовательно, вероятностью выбора 18 из 20 наугад деталей, среди которых будут 15 из 16 исправны, составляет

$P(A) = \dfrac{C^{15}_{16}\cdot C_{4}^{3}}{C^{18}_{20}} = \dfrac{16 \cdot 4}{190} = \dfrac{32}{95}$

Ответ: $\dfrac{32}{95}$

Answer 2

Для решения данной задачи мы можем использовать биномиальное распределение, так как каждая деталь может быть исправной или неисправной, и вероятность исправности остается const (в данном случае 16 из 20).

Формула биномиального распределения:

$P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $n$ - количество попыток (в данном случае 18 деталей),
• $k$ - количество успехов (в данном случае 15 исправных деталей),
• $p$ - вероятность успеха (вероятность выбора исправной детали),
• $q$ - вероятность неудачи (вероятность выбора неисправной детали),
• $C_n^k$ - биномиальный коэффициент (количество способов выбрать $k$ успешных деталей из $n$).

В данном случае:

$p = \frac{{\text{количество исправных}}}{{\text{общее количество}}} = \frac{16}{20}$

$q = 1 - p = 1 - \frac{16}{20} = \frac{4}{20}$

$C_{18}^{15} = \frac{18!}{15!(18-15)!}$

Подставляем все значения в формулу и вычисляем вероятность:

$P(X = 15) = C_{18}^{15} \cdot \left(\frac{16}{20}\right)^{15} \cdot \left(\frac{4}{20}\right)^{3}$

Вычислите значения, и вы получите вероятность того, что среди отобранных 18 деталей ровно 15 будут исправными.