Question

Найдите функцию Im(exp (z^2)). Вверху над z стоиn черточка 1) exp (x^2−y^2)cos (2xy) 2) exp (x^2−y^2)sh(2xy) 3) −exp (x^2−y^2)sin (2xy)

Answer 1

Положим $z = x + iy$, тогда $\overline{z}=x-iy$.

$Im\Bigg(\exp\Big\{\overline{z}^2\Big\}\Bigg)=Im\Bigg(\exp\Big\{(x-iy)^2\Big\}\Bigg)=Im\Bigg(\exp\Big\{x^2-y^2-2xyi\Big\}\Bigg)=\\ \\ \\ =\exp\Big\{x^2-y^2\Big\}\cdot Im\Bigg(\exp\Big\{-2xyi\Big\}\Bigg)=\exp\Big\{x^2-y^2\Big\}\cdot Im\Bigg(\exp\Big\{\cos 2xy\\ \\\\ -i\sin 2xy\Big\}\Bigg)=\exp\Big\{x^2-y^2\Big\}\cdot \Big(-\sin 2xy\Big)=-\exp\Big\{x^2-y^2\Big\}\sin2xy$

Ответ: 3)

Answer 2

Чтобы найти мнимую часть функции Im(exp(z^2)), мы можем использовать формулу Эйлера для экспоненты комплексного числа. Формула Эйлера гласит:

exp(iz) = cos(z) + i*sin(z).

Теперь мы можем подставить z^2 вместо z и найти мнимую часть:

exp(z^2) = cos(z^2) + i*sin(z^2).

Теперь мы можем найти мнимую часть этой функции:

Im(exp(z^2)) = Im(cos(z^2) + i*sin(z^2)).

Мнимая часть будет равна мнимой части второго слагаемого:

Im(exp(z^2)) = Im(i*sin(z^2)).

Теперь мы можем вычислить мнимую часть i*sin(z^2). Заметим, что sin(z^2) - это синус комплексного числа z^2.

Поскольку z^2 - это комплексное число вида x^2 - y^2 + 2ixy, то мы можем воспользоваться формулой синуса для комплексных чисел:

sin(z) = sin(x + iy) = sin(x)cosh(y) + i*cos(x)sinh(y).

Теперь мы можем вычислить sin(z^2):

sin(z^2) = sin(x^2 - y^2 + 2ixy) = sin(x^2 - y^2)cosh(2xy) + i*cos(x^2 - y^2)sinh(2xy).

Теперь мы можем найти мнимую часть sin(z^2):

Im(sin(z^2)) = Im(i*cos(x^2 - y^2)sinh(2xy)).

Мнимая часть этого выражения равна:

Im(sin(z^2)) = i*cos(x^2 - y^2)sinh(2xy).

Таким образом, мнимая часть функции Im(exp(z^2)) равна -cos(x^2 - y^2)sinh(2xy).

Из предложенных вариантов ответа правильный вариант - 3) -exp(x^2 - y^2)sin(2xy).