Question

ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО!!! ДАМ МНОГО БАЛОВ!!!! Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2,y-4x+3=0

Answer 1

$y=x^{2}$

$y=4x-3$

Сначала найдем точки пересечения графиков.

Подставим первое уравнение во второе:

$x^{2} =4x-3$

$x^{2} -4x+3=0$

$x_1=1$   $x_2=3$

$y_1=1$   $y_2=9$

Построим схематично графики и посмотрим на фигуру, площадь которой требуется найти. Получилась фигура, ограниченная сверху прямой, а снизу - правой ветвью параболы. Нижняя левая точка (1;1), верхняя правая (3;9). Значит требуется найти площадь под графиком функции прямой от x=1 до x=3 и вычесть площадь под графиком параболы с теми же ограничениями. Говоря математическим языком:

$\int\limits^3_1 {(4x-3)} \, dx - \int\limits^3_1 {(x^{2}) } \, dx$

$\int\limits {(4x-3)} \, dx =2x^{2} -3x+C$

$\int\limits^3_1 {(4x-3)} \, dx =(2*3^2-3*3)-(2*1^2-3*1)=18-9-2+3=10$

$\int\limits{x^{2} } \, dx =\frac{1}{3}x^{3}+C$

$\int\limits^3_1 {x^{2} } \, dx =\frac{1}{3} *3^3-\frac{1}{3}*1^3=9-\frac{1}{3} =8\frac{2}{3}$

$10-8\frac{2}{3} =1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{1}{3}$

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми y = x^2 и y - 4x + 3 = 0, вам нужно сначала найти точки их пересечения, а затем использовать интеграл для вычисления площади между ними.

1. Начнем с нахождения точек пересечения. Для этого приравняем два уравнения:

   x^2 = 4x - 3

2. Теперь перенесем все элементы в одну сторону:

   x^2 - 4x + 3 = 0

3. Решим это уравнение квадратным способом. Мы видим, что это квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -4 и c = 3. Применяя квадратное уравнение, мы получаем два корня:

   x1 = 3 x2 = 1

4. Теперь у нас есть точки пересечения x1 и x2. Чтобы найти соответствующие значения y, мы можем подставить эти x в оба уравнения:

   Для y = x^2: y1 = (3)^2 = 9 y2 = (1)^2 = 1

   Для y - 4x + 3 = 0: y1 = 4(3) - 3 = 12 - 3 = 9 y2 = 4(1) - 3 = 4 - 3 = 1

5. Теперь у нас есть точки пересечения: (1, 1) и (3, 9).

6. Для вычисления площади между этими двумя кривыми, мы можем использовать интеграл:

   Площадь = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx, где a и b - это x-координаты точек пересечения, f(x) - верхняя кривая (y = x^2), g(x) - нижняя кривая (y = 4x - 3).

   Площадь = ∫[1, 3] (x^2 - (4x - 3)) dx

7. Теперь вычислим этот интеграл:

   Площадь = ∫[1, 3] (x^2 - 4x + 3) dx

   Площадь = [(1/3)x^3 - 2x^2 + 3x] от 1 до 3

   Площадь = [(1/3)(3^3) - 2(3^2) + 3(3)] - [(1/3)(1^3) - 2(1^2) + 3(1)]

   Площадь = [(1/3)(27) - 2(9) + 9] - [(1/3)(1) - 2(1) + 3]

   Площадь = [9 - 18 + 9] - [1/3 - 2 + 3]

   Площадь = [0] - [1/3 - 2 + 3]

   Площадь = 0 - (-5/3)

   Площадь = 5/3

Таким образом, площадь фигуры между кривыми y = x^2 и y - 4x + 3 = 0 равна 5/3 квадратных единиц.