Question

Сделайте чертеж. Вычислите площадь фигуры, ограниченной указанными линиями: y = −2x^2 + 8x и осью OX.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Если пересекает ось ОХ, то y = 0

-2x^2 + 8x = 0

-2x*(x - 4) = 0

x = 0   x = 4

     4                                                             4

S = ∫(−2x^2 + 8x) * dx = -2/3 * x^3 + 4x^2  | = -2/3 * 4^3 + 4*4^2 - 0 =

    0                                                            0

=-128/3 + 64 = 64/3 кв.ед

График приложен

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой y = -2x^2 + 8x и осью OX, нам нужно найти точки их пересечения и затем рассчитать определенный интеграл функции, описывающей кривую, между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения кривой с осью OX, то есть значения x, при которых y = 0:

-2x^2 + 8x = 0

По факту, можно вынести x из обоих членов:

x(-2x + 8) = 0

Теперь решим уравнение:

1. x = 0
2. -2x + 8 = 0

Для второго уравнения:

-2x + 8 = 0 -2x = -8 x = 4

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: x = 0 и x = 4.

Теперь мы можем рассчитать площадь между кривой y = -2x^2 + 8x и осью OX, используя определенный интеграл:

$S = \int_{0}^{4} (-2x^2 + 8x) dx$

Рассчитаем этот интеграл:

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 4x^2\right]_0^4$

Теперь подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$S = \left[-\frac{2}{3}(4^3) + 4(4^2)\right] - \left[-\frac{2}{3}(0^3) + 4(0^2)\right]$

Упростим выражение:

$S = \left[-\frac{2}{3}(64) + 4(16)\right] - \left[0\right]$

$S = \left[-\frac{128}{3} + 64\right] - 0$

$S = -\frac{128}{3} + 64$

$S = -\frac{128}{3} + \frac{192}{3} = \frac{64}{3}$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой y = -2x^2 + 8x и осью OX, равна $\frac{64}{3}$ квадратных единиц.