Question

Вычислить ЛОДУ второго порядка: y''+2y'-8y=0

Answer 1

Ответ:

y = C1*e^2х + C2*e^-4х

Пошаговое объяснение:

Характеристическое уравнение:

(lambda = la)

la^2+2la-8=0

la1 = 2, la2 = -4

Ответ:

y = C1*e^2х + C2*e^-4х

Answer 2

Для вычисления линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка (ЛОДУ) с постоянными коэффициентами, такого как данное уравнение:

y'' + 2y' - 8y = 0

Мы можем сначала найти характеристическое уравнение. Характеристическое уравнение для этого ЛОДУ имеет следующий вид:

r^2 + 2r - 8 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение для нахождения корней r. Мы можем воспользоваться квадратным уравнением, либо использовать методы факторизации. Давайте воспользуемся квадратным уравнением:

D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 2 и c = -8.

D = 2^2 - 4 * 1 * (-8) = 4 + 32 = 36

D > 0, поэтому у нас есть два действительных корня:

r1 = (-b + √D) / (2a) = (-2 + √36) / (2 * 1) = (-2 + 6) / 2 = 4 / 2 = 2

r2 = (-b - √D) / (2a) = (-2 - √36) / (2 * 1) = (-2 - 6) / 2 = -8 / 2 = -4

Теперь мы имеем два корня r: r1 = 2 и r2 = -4.

Решение ЛОДУ будет иметь следующий вид:

y(t) = c1 * e^(r1t) + c2 * e^(r2t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Теперь, подставив наши значения r1 и r2, мы получим окончательное решение:

y(t) = c1 * e^(2t) + c2 * e^(-4t),

где c1 и c2 - произвольные постоянные, которые могут быть определены из начальных условий или других дополнительных данных.