Question

Довести , що в паралелограмі діагональ менша за півпериметр

Answer 1

Дано:

ABDC - параллелограмм

Д-ть:

CВ < р(АВDC)

AD < р(АВDC)

Д-во:

Полупериметр - периметр, делённый на два.

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме смежных сторон.

Тогда полупериметр параллелограмма равен:

р(АВDC) = 2*(AB+AC)/2 = AB+AC

и

p(ABDC) = 2*(АВ+BD)/2 = АВ+BD

Рассмотрим треугольник АВС.

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Точнее :

АВ+АС > СВ

[р(АВCD) > CB]

Рассмотрим треугольник ABD.

Анологично:

AB+CD > AD

[p(ABDC) > AD].

Ответ: что требовалось д-ть.

Answer 2

Позначимо паралелограм за допомогою точок A, B, C і D, де AB і CD - сторони паралелограма, а AC і BD - його діагоналі. Півпериметр паралелограма (P) можна знайти, додавши довжини всіх його сторін, тобто:

P = AB + BC + CD + DA

З іншого боку, довжини діагоналей паралелограма можна позначити як AC і BD. Тепер давайте доведемо, що діагональ AC менша за півпериметр:

AC < P

Проведемо одну з висот паралелограма, наприклад, від вершини A до сторони CD. Оскільки висота перпендикулярна до сторони, то отримуємо прямий кут в точці перетину висоти і сторони CD.

Тепер розглянемо прямокутний трикутник ADC, де AC - гіпотенуза, а висота з вершини A до сторони CD - однією з його сторін. За теоремою Піфагора:

AC^2 = AD^2 + CD^2

Тепер ми можемо виразити довжину AD:

AD = √(AC^2 - CD^2)

Помітимо, що AD - це відстань від вершини A до ближньої сторони паралелограма (сторони CD).

Зараз давайте розглянемо суму довжин сторін паралелограма:

AB + BC + CD + DA = AB + BC + AD + CD

Зараз давайте замінимо AD на його вираз, який ми отримали раніше:

AB + BC + AD + CD = AB + BC + √(AC^2 - CD^2) + CD

Тепер давайте розглянемо вираз √(AC^2 - CD^2). Ми вже знаємо, що AC - гіпотенуза, а CD - одна зі сторін прямокутного трикутника ADC. Оскільки гіпотенуза завжди більша за будь-яку сторону прямокутного трикутника, то можемо сказати, що AC > CD. Таким чином, CD^2 < AC^2, і віднімання цього виразу зі знаком кореня не може зробити вираз більшим.

Отже, AB + BC + √(AC^2 - CD^2) + CD > AB + BC + CD

Тобто, сума довжин сторін паралелограма більша за довжину його діагоналі AC.

Звідси випливає, що діагональ AC менша за півпериметр паралелограма.