Question

10 БАЛЛОВ! Помогите срочно пожалуйста Довести, що площа трикутника обчислюється за формулою S = pr , де р-півпериметр трикутника, a r-радіус вписаного кола.Доказать, что площадь треугольника вычисляется по формуле S = pr, где р-полупериметр треугольника, a r-радиус вписанной окружности.​

Answer 1

Ответ:

Отметит напоследок, что в треугольник, который является частным случаем многоугольника, всегда можно вписать окружность. Поэтому для треугольника эту формулу можно применять всегда. Для остальных многоугольников, с количеством сторон большим 3, сперва нужно убедиться, что в них можно вписать окружность. Если это так, можно смело использовать эту простую формулу и находить по ней площадь этого многоугольника.

Answer 2

Для доказательства формулы площади треугольника через радиус вписанной окружности и полупериметр, давайте воспользуемся следующими шагами.

Предположим, у нас есть треугольник ABC, и у него есть вписанная окружность с радиусом r. Пусть a, b и c - длины сторон треугольника, а p - его полупериметр (p = (a + b + c) / 2).

1. Разделим вписанную окружность на треугольник ABC на три равные дуги AO, BO и CO, где O - центр окружности, а A, B и C - точки пересечения окружности с соответствующими сторонами треугольника.

2. Так как угол AOB является половиной центрального угла вписанной окружности, то он равен AOB = 2 * ∠ACB.

3. Аналогично, уголы BOC и COA также равны 2 * ∠ABC и 2 * ∠CAB соответственно.

4. Таким образом, сумма углов треугольника ABC равна: 2 * ∠ACB + 2 * ∠ABC + 2 * ∠CAB = 2 * (∠ACB + ∠ABC + ∠CAB) = 2 * 180° = 360°.

5. Поэтому сумма углов треугольника всегда равна 360°.

6. Для того чтобы доказать формулу площади через радиус вписанной окружности и полупериметр, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника через радиус описанной окружности и стороны треугольника: S = (abc) / (4R), где R - радиус описанной окружности.

7. Поскольку радиус описанной окружности R равен половине диаметра вписанной окружности, то можно записать R = 2r.

8. Подставляя R = 2r в формулу для площади через описанную окружность, получаем: S = (abc) / (4 * 2r) = (abc) / (8r).

9. Также известно, что площадь треугольника можно выразить через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = pr.

10. Таким образом, мы имеем два выражения для площади треугольника: S = (abc) / (8r) и S = pr.

11. Подставляя выражение для p (полупериметр) во второе выражение, получаем: S = (a + b + c) / 2 * r = (abc) / (8r).

12. Сокращая на r и умножая на 8, получаем: S = abc / r = (abc) / (8r).

13. Таким образом, мы показали, что оба выражения для площади треугольника равны: S = abc / (8r).

Таким образом, мы доказали, что площадь треугольника можно вычислить как S = pr, где p - полупериметр треугольника, а r - радиус вписанной окружности.