Question

Довести, що число 2¹+2²+2³+...+2⁹⁹ +2¹⁰⁰ ділиться на 3.​

Answer 1

$2^1+2^2+...+2^{100}=(2^1+2^2)+(2^3+2^4)+...+(2^{99}+2^{100})=2^1(1+2)+2^3(1+2)+...+2^{99}(1+2)=2^1*3+2^3*3+...+2^{99}*3=3*(2^1+2^3+...+2^{99})\;\vdots \;3$

Answer 2

Для того щоб довести, що дане число $2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{99} + 2^{100}$ ділиться на 3, можна скористатися принципом індукції.

Крок 1: Доведемо базовий крок. Перевіримо, що умова виконується для $n = 1$: $2^1 = 2$ ділиться на 3, оскільки $2 = 3 \cdot 0 + 2$.

Крок 2: Припустимо, що умова справджується для $n = k$, тобто $2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^k$ ділиться на 3.

Крок 3: Доведемо індукційний крок для $n = k + 1$: Розглянемо вираз $2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^k + 2^{k+1}$. За припущенням індукції, $2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^k$ ділиться на 3. Також помітно, що $2^{k+1}$ ділиться на 3, оскільки $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$, а $2^k$ ділиться на 3 за припущенням індукції.

Отже, сума $2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^k + 2^{k+1}$ ділиться на 3.

За принципом математичної індукції, ми показали, що для будь-якого $n$ вираз $2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^n$ ділиться на 3. Таким чином, $2^1 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{99} + 2^{100}$ теж ділиться на 3.