Question

Найдите функцию y=f(x), удовлетворяющую заданному условию( дифференциальному уравнению ) y'=3X^2-6X^3

Answer 1

Ответ:

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F(x, y, y

′

) = 0, (0.1)

в котором x — независимая переменная, y(x) — неизвестная функция. Дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно

производной, называется уравнение

dy

dx = f(x, y). (0.2)

Правую часть уравнения (0.2) будем считать определенной на некотором открытом множестве D плоскости (x, y). Иногда уравнение (0.2) записывают

в виде

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (0.3)

и называют уравнением первого порядка, записанным в дифференциалах.

Решением уравнения (0.2) (или (0.3)) на интервале I оси x называется

любая дифференцируемая функция y = φ(x), которая при подстановке в

уравнение обращает его в тождество на I . Общим решением уравнения (0.2)

называется множество всех его решений. Общее решение зависит от одной

произвольной постоянной C и дается формулой

y = φ(x, C). (0.4)

Выражение вида

Φ(x, y, C) = 0, (0.5)

из которого y определяется неявно как функция от x называется общим

интегралом уравнения (0.2).

Решить уравнение (0.2) означает найти его общее решение или общий интеграл. При этом предпочтение, как правило, отдается более компактной записи ответа.

Формы записи уравнения в виде (0.2) или (0.3) равносильны и из одной

записи можно получить другую. Однако, в некоторых случаях, форма записи (0.3) оказывается предпочтительнее, так как в нее переменные x и y входят симметрично. Поэтому, если независимую переменную и искомую функцию поменять местами (разрешить уравнение относительно dx

dy ), то общее решение x = ψ(y, C) полученного уравнения определит

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Чтобы найти функцию y = f(x), удовлетворяющую данному дифференциальному уравнению y' = 3x^2 - 6x^3, мы можем воспользоваться методом интегрирования.

Дифференциальное уравнение имеет вид:

y' = 3x^2 - 6x^3

Теперь интегрируем обе стороны уравнения по переменной x:

∫(1 dy) = ∫(3x^2 - 6x^3 dx)

Интегрируем каждое слагаемое отдельно:

∫ dy = ∫(3x^2 dx) - ∫(6x^3 dx)

Интегрируем:

y = x^3 - 2x^4 + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Таким образом, функция y(x), удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, имеет вид:

y(x) = x^3 - 2x^4 + C, где C - произвольная постоянная.