Question

На склад поступило 8 шестеренок, среди которых 5 годных и 3 бракованных. Неудачу берут 4 шестеренки. Составить закон распределения случайной величины - числа годных шестеренок среди взятых. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Распишите пожалуйста!

Answer 1

Ответ:

8-3=5

5:2=1+3=5

Answer 2

Для составления закона распределения случайной величины - числа годных шестеренок среди взятых, мы можем использовать биномиальное распределение. В данной задаче:

n = 4 (количество шестеренок, которые мы берем) p = вероятность выбора годной шестеренки = (количество годных шестеренок) / (общее количество шестеренок) = 5 / 8

Теперь мы можем записать закон распределения случайной величины X, которая представляет собой количество годных шестеренок среди 4 выбранных:

P(X = k) = C(4, k) * (p^k) * ((1-p)^(4-k))

Где C(4, k) - это число сочетаний из 4 элементов по k элементов (т.е., количество способов выбрать k годных шестеренок из 4).

Теперь давайте найдем вероятности для всех возможных значений k (от 0 до 4):

P(X = 0) = C(4, 0) * (p^0) * ((1-p)^4) = 1 * 1 * ((1-p)^4) P(X = 1) = C(4, 1) * (p^1) * ((1-p)^3) P(X = 2) = C(4, 2) * (p^2) * ((1-p)^2) P(X = 3) = C(4, 3) * (p^3) * (1-p) P(X = 4) = C(4, 4) * (p^4)

Теперь вычислим значения:

P(X = 0) = (1) * (1) * ((1-p)^4) = (1) * (1) * ((1 - 5/8)^4) = (1/8)^4 = 1/4096 P(X = 1) = (4) * (5/8) * ((1-5/8)^3) = 4 * (5/8) * (3/8)^3 = 480/4096 = 15/128 P(X = 2) = (6) * ((5/8)^2) * ((1-5/8)^2) = 6 * (25/64) * (9/64) = 1350/4096 = 675/2048 P(X = 3) = (4) * ((5/8)^3) * (3/8) = 4 * (125/512) * (3/8) = 150/4096 = 75/2048 P(X = 4) = (1) * ((5/8)^4) = (625/4096)

Теперь мы можем найти математическое ожидание и дисперсию:

Математическое ожидание (среднее значение) E(X) вычисляется как:

E(X) = Σ [k * P(X = k)]

E(X) = 0 * (1/4096) + 1 * (15/128) + 2 * (675/2048) + 3 * (75/2048) + 4 * (625/4096)

E(X) = (15/128) + (1350/2048) + (225/2048) + (625/1024)

E(X) = (15/128) + (1350/2048) + (225/2048) + (625/1024)

E(X) = 1415/2048 ≈ 0.6914

Дисперсия Var(X) вычисляется как:

Var(X) = Σ [(k - E(X))^2 * P(X = k)]

Var(X) = (0 - 0.6914)^2 * (1/4096) + (1 - 0.6914)^2 * (15/128) + (2 - 0.6914)^2 * (675/2048) + (3 - 0.6914)^2 * (75/2048) + (4 - 0.6914)^2 * (625/4096)

Var(X) = 0.4781

Таким образом, математическое ожидание случайной величины X (числа годных шестеренок среди взятых) составляет примерно 0.6914, а дисперсия составляет около 0.4781.