Question

Вычислите определенные интеграл ∫(1:0) (3x + 1)(e^3x)dx

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\int\limits (3x + 1) {e}^{3x} dx$

по частям:

$U= 3x + 1 \: \: \: \: \: \: \: \: dU = 3dx \\ dV = {e}^{3x} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: V = \frac{1}{3} {e}^{3x}$

$\int\limits \: UdV = UV- \int\limits \: VdU = \\ = \frac{3x + 1}{3} {e}^{3x} - \frac{1}{3} \times 3\int\limits {e}^{3x} dx = \\ = \frac{3x + 1}{3} {e}^{3x} - \frac{ {e}^{3x} }{3} + C = \\ = \frac{1}{3} {e}^{3x} (3x + 1 - 1) + C= \\ = \frac{1}{3} {e}^{3x} \times 3x + C = \\ = x {e}^{3x} + C$

подставляем пределы:

${e}^{3} - 0 = {e}^{3}$

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла ∫(0:1) (3x + 1)(e^(3x))dx мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям основано на формуле: ∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это функции, которые мы выбираем. В данном случае, давайте выберем: u = 3x + 1, и dv = e^(3x)dx.

Теперь вычислим производные и интегралы: du = 3dx, v = (1/3)e^(3x).

Подставляя значения u, dv, du и v в формулу интегрирования по частям, получаем: ∫(3x + 1)(e^(3x))dx = (3x + 1) * (1/3)e^(3x) - ∫(1/3)e^(3x) * 3dx.

Упрощаем это выражение: (1/3)(3x + 1)e^(3x) - e^(3x)dx.

Теперь вычислим интеграл ∫e^(3x)dx: ∫e^(3x)dx = (1/3)e^(3x).

Теперь подставим это обратно в наше выражение: (1/3)(3x + 1)e^(3x) - (1/3)e^(3x) + C,

где C - константа интегрирования.

Теперь мы можем вычислить определенный интеграл на интервале [0, 1]: ∫(1:0) (3x + 1)(e^(3x))dx = [(1/3)(3 * 1 + 1)e^(3 * 1) - (1/3)e^(3 * 1)] - [(1/3)(3 * 0 + 1)e^(3 * 0) - (1/3)e^(3 * 0)].

Вычисляем значения: [(4/3)e^3 - (1/3)e^3] - [(1/3)e^0 - (1/3)e^0] = (4/3)e^3 - (1/3)e^3 = (3/3)e^3 = e^3.

Итак, определенный интеграл ∫(1:0) (3x + 1)(e^(3x))dx равен e^3.