Question

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, а боковое ребро равно 5 м, равна 22 м2. Найдите диагонали параллелепипеда.

Answer 1

Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, в основании которого квадрат, а боковое ребро равно 5 м, равна 22 м2. Найдите диагонали параллелепипеда.

Ответ: 3 корня из 3

Answer 2

Для нахождения диагоналей прямоугольного параллелепипеда, мы сначала найдем его габаритные размеры, а затем воспользуемся теоремой Пифагора.

Площадь полной поверхности параллелепипеда можно разбить на 5 частей: две квадратные грани и три прямоугольные грани. Поскольку основание параллелепипеда - квадрат, площадь каждой квадратной грани равна a^2, где a - длина стороны квадрата. Площадь трех прямоугольных граней можно найти, умножив длину и ширину этих граней и умножив результат на 2 (так как у нас есть две такие грани).

Пусть a - длина стороны квадратной основы, b - ширина параллелепипеда, а c - его высота.

Мы знаем, что площадь полной поверхности равна 22 м², поэтому:

2a^2 + 2ab + 2ac = 22

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a^2 + ab + ac = 11
2. b = 5

Для решения этой системы уравнений давайте подставим значение b из уравнения 2 в уравнение 1:

a^2 + 5a + ac = 11

Теперь у нас есть уравнение, зависящее только от переменных a и c. Мы не можем решить его напрямую, чтобы найти a и c, поэтому нам нужно дополнительное уравнение. Мы можем использовать тот факт, что боковое ребро равно 5 м, и оно равно диагонали боковой прямоугольной грани параллелепипеда.

Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, у которого одна из сторон - a, а другая - c, и гипотенуза - 5, получаем следующее уравнение:

a^2 + c^2 = 5^2

a^2 + c^2 = 25

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. a^2 + 5a + ac = 11
2. a^2 + c^2 = 25

Мы можем решить эту систему уравнений для нахождения значений a и c. После того, как мы найдем эти значения, мы сможем найти диагонали параллелепипеда, используя теорему Пифагора.

Как только мы найдем значения a и c, можем найти диагонали параллелепипеда следующим образом:

Диагональ прямоугольной грани (d1) будет равна:

d1 = √(a^2 + b^2)

Диагональ боковой грани (d2) будет равна:

d2 = √(a^2 + c^2)

Теперь давайте решим систему уравнений:

Из уравнения 2 мы можем выразить c^2:

c^2 = 25 - a^2

Теперь подставим это выражение в уравнение 1:

a^2 + 5a + a(25 - a^2) = 11

Раскроем скобки:

a^2 + 5a + 25a - a^3 = 11

a^3 - 30a + 11 - 25a = 0

a^3 - 55a + 11 = 0

Теперь мы должны решить это уравнение для a. Это может потребовать численных методов, таких как метод Ньютона, чтобы найти корни. Один из корней это a ≈ 3.1394.

Теперь мы можем использовать это значение a, чтобы найти c:

c^2 = 25 - a^2 c^2 = 25 - (3.1394)^2 c^2 ≈ 15.1921 c ≈ √15.1921 c ≈ 3.89

Теперь мы знаем a и c, и мы можем найти диагонали:

d1 = √(a^2 + b^2) d1 = √((3.1394)^2 + (5)^2) d1 ≈ √(9.8680 + 25) d1 ≈ √34.8680 d1 ≈ 5.91 м

d2 = √(a^2 + c^2) d2 = √((3.1394)^2 + (3.89)^2) d2 ≈ √(9.8680 + 15.1321) d2 ≈ √24.0001 d2 ≈ 4.90 м

Итак, диагонали параллелепипеда примерно равны 5.91 м и 4.90 м.