Question

Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3, х > 0, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна 2/3.

Answer 1

Уравнение касательной y = y'(x - xo) + yo.

y' = 3x² подставим в уравнение для x = xo и y = xo³.

y = 3xo²(x - xo) + yo.

Раскроем скобки: y = 3xo²*x - 3xo³ + xo³ = 3xo²*x - 2xo³.

Получили уравнение касательной у = 3xo²*x - 2xo³.

Определим точки пересечения с осями.

С осью Ох при у = 0 (это точка С на графике во вложении).  

0 = 3xo²*x(С) - 2xo³, отсюда х(С) = 2xo³/3xo² = (2/3)xo.

С осью Оу при х = 0 (это точка В на графике во вложении).  

у = 3xo²*0 - 2xo³ = -2xo³.

Для площади (она не бывает отрицательной) примем положительное значение: у = 2xo³.

Из заданного условия S = (2/3) составим уравнение.

(1/2)*ОС*ОВ = 2/3,

(2/3)xo*2xo³ = 4/3,

(4/3)xo^4 = 4/3,

xo^4 = 1.

xo = 1^(1/4) = 1.

Подставим найденное значение в уравнение y = 3xo²(x - xo) + yo.

y = 3*1²(x - 1) + 1³ = 3х -3 + 1 = 3х - 2.

Ответ: уравнение касательной у = 3х - 2.

Answer 2

Для того чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = x^3, x > 0, которая отсекает от осей координат треугольник с площадью 2/3, давайте сначала определим, какие точки на графике функции и на осях координат будут являться вершинами этого треугольника.

Площадь треугольника можно выразить как половину произведения его базы (по оси x) и высоты (по оси y). В данном случае, база будет равна x, а высота - y. Мы хотим, чтобы площадь треугольника была равна 2/3, поэтому:

(1/2) * x * y = 2/3

Теперь у нас есть уравнение для треугольника. Чтобы найти точки пересечения этого уравнения с графиком функции y = x^3, подставим y = x^3:

(1/2) * x * (x^3) = 2/3

Упростим это уравнение:

(1/2) * x^4 = 2/3

Теперь, чтобы найти значения x, примем квадратный корень от обеих сторон:

x^4 = (2/3) * 2

x^4 = 4/3

x = (4/3)^(1/4)

Теперь, когда у нас есть значение x, мы можем найти соответствующее значение y на графике функции y = x^3:

y = ((4/3)^(1/4))^3

y = (4/3)^(3/4)

Теперь у нас есть координаты точки, в которой касательная к графику функции y = x^3 отсекает от осей координат треугольник с площадью 2/3:

x = (4/3)^(1/4) y = (4/3)^(3/4)

Теперь мы можем использовать найденные точки и производные для построения уравнения касательной. Поскольку точка (x, y) на графике функции y = x^3 также лежит на касательной, уравнение касательной будет иметь вид:

y - y0 = f'(x0)(x - x0)

где (x0, y0) - это точка на графике функции, а f'(x0) - значение производной функции в этой точке.

Производная функции y = x^3 равна:

f'(x) = 3x^2

Теперь мы можем подставить найденные значения x и y в уравнение касательной:

y - (4/3)^(3/4) = 3((4/3)^(1/4))^2(x - (4/3)^(1/4))

Это уравнение будет уравнением касательной к графику функции y = x^3, отсекающей от осей координат треугольник с площадью 2/3 в точке (x, y).