Question

Помогите пожалуйста с этим заданием Какое из чисел больше: 100(1/1+1/2+1/3+1/4+...+1/100) или 101(1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/101)? Докажите, что одно из этих чисел больше другого более чем на 49.

Answer 1

Ответ: рассмотрим разницу этих чисел:

100(1/1+1/2+1/3+1/4+...+1/100) - 101(1/2+1/3+1/4+1/5+...+1/101) =

= 1/2 * (100-101) + 1/3 * (100-101) + ... + 1/100 * (100-101) + 100 - 1 =

= 99 - 1/2 - 1/3 - 1/4 - .... - 1/100. Это выражение больше, чем

99 - 1/2 - 1/2 - ... - 1/2 (-1/2 берётся 99 раз) = 99 - (1/2)*99= 49,5

 А значит  разность исходных чисел больше 49 (первое число в задаче больше второго)

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Вычтем из первого числа второе

100(1/1+1/2+...1/100)-101*(1/2+1/3+...+1/100+1/101)=100*1/1 + 1/2*(100-101)+1/3*(100-101)+...+1/100(100-101)-101*1/101=99- (1/2+1/3+1/4+...+1/100). Теперь надо оценить сумму в скобках. Разделим члены по парам 1/2+1/3;1/4+1/5 и т.д. Видно, что каждая из таких маленьких сумм меньше единицы. Всего таких пар 50, а значит вся сумма в скобках меньше 50. Что в свою очередь говорит о том что изначальная первая сумма больше второй как минимум на 49.

Answer 3

Давайте начнем сравнивать оба выражения:

1. Выражение 1: 100(1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/100)
2. Выражение 2: 101(1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/101)

Оба выражения представляют собой суммы ряда гармонических чисел. Рассмотрим каждое из них отдельно:

1. Выражение 1 - это 100 умноженное на сумму первых 100 гармонических чисел. Мы можем обозначить сумму первых n гармонических чисел как Hn:

   Выражение 1 = 100 * H100

2. Выражение 2 - это 101 умноженное на сумму следующих 100 гармонических чисел (со 2-го по 101-е). То есть, это 101 умноженное на разницу H101 и H1:

   Выражение 2 = 101 * (H101 - H1)

Теперь мы можем сравнить эти два выражения:

101 * (H101 - H1) - 100 * H100

Чтобы доказать, что одно из этих чисел больше другого более чем на 49, нам нужно показать, что выражение выше больше 49.

Сначала найдем значения H1 и H100:

H1 = 1/1 = 1 H100 - значение гармонического числа H100 несколько сложнее вычислить, но можно использовать приближенное значение, которое равно приближенно 5.19 (это значение можно найти в таблицах гармонических чисел).

Теперь мы можем вычислить разницу между H101 и H1:

H101 - H1 ≈ 5.19 - 1 = 4.19

Итак, теперь мы можем вычислить выражение:

101 * (H101 - H1) - 100 * H100 ≈ 101 * 4.19 - 100 * 5.19 ≈ 423.19 - 519 ≈ -95.81

Таким образом, разница между выражением 1 и выражением 2 составляет около -95.81, что меньше чем на 49. Таким образом, можно утверждать, что выражение 1 меньше, чем выражение 2 на более чем 49.