Question

чему равен интеграл sqrt(x+1)/sqrt( (x^3+2)*ln(3x-1) ) пределы интегрирования от 2 до +бесконечности.

Answer 1

$\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\big(x^3+2\big)\ln(3x-1)}}\,dx$

Поскольку $\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\big(x^3+2\big)\ln(3x-1)}}\sim \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x^3}\cdot\sqrt{\ln(3x)}}}=\dfrac{1}{x\sqrt{\ln 3x}}$ при $x\to +\infty$ (другие "проблемные" точки начальной функции в промежуток, по которому берётся интеграл, не входят), то рассмотрим сходимость интеграла от эквивалентной функции.

$\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}\dfrac{1}{x\sqrt{\ln 3x}}\,dx=3\int\limits_{2}^{+\infty}\dfrac{d\left(\ln 3x\right)}{\sqrt{\ln 3x}}=6\sqrt{\ln 3x}\,\bigg|\limits_{2}^{+\infty}\to\infty$

Таким образом, поскольку интеграл от эквивалентной функции расходится на $x\to +\infty$, то и изначальный тоже.

Ответ. $\displaystyle\int\limits_{2}^{+\infty}\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{\big(x^3+2\big)\ln(3x-1)}}\,dx$ расходится

Answer 2

Для вычисления данного интеграла сначала применим признак сравнения. Посмотрим, как ведут себя функции под интегралом при x → +бесконечности.

Сначала рассмотрим дробь внутри корней:

$(x^3+2)\ln(3x-1)$

При x → +бесконечности функции $x^3$ и $\ln(3x-1)$ растут, и их произведение также растет. То есть:

$\lim_{x\to+\infty} (x^3+2)\ln(3x-1) = +\infty$

Значит, дробь под корнем также стремится к +бесконечности при x → +бесконечности.

Теперь рассмотрим числитель, который равен $\sqrt{x+1}$. При x → +бесконечности корень также растет и стремится к +бесконечности.

Итак, мы видим, что как числитель, так и знаменатель под интегралом стремятся к +бесконечности при x → +бесконечности. Это означает, что интеграл является несобственным интегралом второго рода.

Для вычисления такого интеграла с бесконечным пределом, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Для начала, давайте сделаем замену:

$t = \ln(3x-1)$

Тогда:

$dt = \frac{3}{3x-1}dx$

Теперь заменим пределы интегрирования:

Когда $x = 2$, $t = \ln(3(2)-1) = \ln(5)$. Когда $x$ стремится к +бесконечности, $t$ также будет стремиться к +бесконечности.

Теперь выразим $dx$ через $dt$:

$dx = \frac{dt}{3(3x-1)}$

Теперь можем выразить исходный интеграл через новую переменную $t$:

$\int_{2}^{+\infty} \frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{(x^3+2)\ln(3x-1)}}dx = \int_{\ln(5)}^{+\infty} \frac{\sqrt{e^t+1}}{\sqrt{(e^{3t}+2)t}}\frac{1}{3}dt$

Теперь вычислим этот интеграл с новыми пределами. Это уже несобственный интеграл второго рода, но он ограничен сверху, так как корень из $e^t+1$ не может быть больше $e^{t/2}$, а корень из $(e^{3t}+2)t$ не может быть больше $e^{3t/2}$, поэтому можно утверждать, что интеграл сходится:

$\int_{\ln(5)}^{+\infty} \frac{\sqrt{e^t+1}}{\sqrt{(e^{3t}+2)t}}\frac{1}{3}dt < \frac{1}{3}\int_{\ln(5)}^{+\infty} \frac{e^{t/2}}{e^{3t/2}}dt = \frac{1}{3}\int_{\ln(5)}^{+\infty} e^{-t}dt$

Этот интеграл сходится, так как экспоненциальная функция убывает быстро при $t \to +\infty$. Таким образом, исходный интеграл сходится.

Для вычисления точного значения этого интеграла, возможно, потребуется использовать численные методы, такие как метод численного интегрирования или компьютерные программы для вычисления интегралов.