Question

Найти производную сложной функции y=(e^x-8sin^x-7x^10+12-11)^14

Answer 1

Ответ:

$y=(e^{x}-8\, sinx-7x^{10}+12-11)^{14}=(e^{x}-8\, sinx-7x^{10}+1)^{14}\\\\\\y'=14(e^{x}-8\, sinx-7x^{10}+1)^{13}\cdot (e^{x}-8\, cosx-70x^9)$

Answer 2

Чтобы найти производную сложной функции, используем правило цепочки (chain rule). Давайте разобьем функцию на две части: внешнюю функцию, обозначенную как u, и внутреннюю функцию, обозначенную как v:

u(v) = v^14, где v = e^x - 8sin^x - 7x^10 + 12 - 11.

Сначала найдем производную внутренней функции v по x, а затем производную внешней функции u по v и умножим их:

1. Найдем производную внутренней функции v по x:

v = e^x - 8sin^x - 7x^10 + 12 - 11.

v' = (d/dx)(e^x) - (d/dx)(8sin^x) - (d/dx)(7x^10) + (d/dx)(12) - (d/dx)(11).

v' = e^x - 8(d/dx)(sin^x) - 7(10x^9) + 0 - 0, = e^x - 8cos(x) - 70x^9.

2. Теперь найдем производную внешней функции u по v:

u(v) = v^14.

u'(v) = 14v^(14-1) = 14v^13.

3. Наконец, используем правило цепочки, чтобы найти производную сложной функции y по x:

y'(x) = u'(v) * v'(x), y'(x) = 14v^13 * (e^x - 8cos(x) - 70x^9).

Таким образом, производная функции y по x равна:

y'(x) = 14v^13 * (e^x - 8cos(x) - 70x^9),

где v = e^x - 8sin^x - 7x^10 + 12 - 11.