Question

Диф. уравнения. Дано уравнение y"+p*y'+q*y=sin3x , у его характерного уравнения есть корни k1 = 3, k2 = -3. Указать вид отдельного решения y⁻⁻ (соре за то, что условие такое непонятное, переводила с украинского)

Answer 1

Ответ:

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ 2 пор.). И заданы корни характеристического многочлена . Указать вид частного решения ЛНДУ 2 порядка по виду правой части этого уравнения .

$y''+py'+qy=sin3x\ \ ,\ \ \ k_1=3\ ,\ k_2=-3\\\\f(x)=sin3x=e^{0\cdot x}\cdot (0\cdot cos3x+1\cdot sin3x)\ \ \Rightarrow \\\\0+3i\ne 3\ ,\ 0+3i\ne -3\ \ \Rightarrow \ \ \ x^{s}=x^0\\\\y_{chastnoe\ neodnorodn.}=e^{0\cdot x}\cdot (Acos3x+Bsin3x)\cdot x^0\\\\y_{chastnoe\ neodnorodn.}=Acos3x+Bsin3x$

Answer 2

По-видимому, у вас есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Вы утверждаете, что у характеристического уравнения есть два корня, k1 = 3 и k2 = -3. Давайте найдем вид отдельного решения, соответствующего этим корням.

Если характеристическое уравнение имеет корень k, то общее решение однородной части вашего дифференциального уравнения будет содержать следующие члены:

1. e^(kx) - для корня k
2. x * e^(kx) - для корня k (если корень имеет кратность 1)

В вашем случае k1 = 3 и k2 = -3, и оба корня различны. Таким образом, отдельные решения для этих корней будут следующими:

Для k1 = 3: Отдельное решение, соответствующее корню k1 = 3, будет иметь вид: y1(x) = A1 * e^(3x)

Для k2 = -3: Отдельное решение, соответствующее корню k2 = -3, будет иметь вид: y2(x) = A2 * e^(-3x)

Теперь нужно найти частное решение неоднородной части уравнения. В вашем случае неоднородность представлена как sin(3x). Для такой неоднородности, предположим, что частное решение имеет вид A * sin(3x), где A - некоторая константа.

Теперь мы можем записать общее решение вашего уравнения как сумму общего решения однородной части и частного решения неоднородной части:

y(x) = y1(x) + y2(x) + A * sin(3x)

где y1(x) и y2(x) - отдельные решения, соответствующие корням характеристического уравнения, а A - константа, которую нужно найти, подставив это выражение в исходное дифференциальное уравнение и решив его для A.