Question

Диф. уравнения. Дано уравнение y"+p*y'+q*y=2x+3 , у его характерного уравнения есть корни k1 = 0, k2 = 4. Указать вид отдельного решения y⁻⁻ (соре за то, что условие такое непонятное, переводила с украинского)

Answer 1

Ответ:

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ 2 пор.). И заданы корни характеристического многочлена . Указать вид частного решения ЛНДУ 2 порядка по виду правой части этого уравнения .

$y''+py'+qy=2x+3\ \ ,\ \ \ k_1=0\ ,\ k_2=4\\\\f(x)=2x+3=e^{0\cdot x}\cdot (2x+3)\ \ \Rightarrow \ \ \ \alpha =0=k_1\ \ \Rightarrow \ \ \ x^{s}=x^1\\\\y_{chastnoe\ neodnorodn.}=e^{0\cdot x}\cdot (Ax+B)\cdot x^1\\\\y_{chastnoe\ neodnorodn.}=(Ax+B)\cdot x=Ax^2+Bx$

Answer 2

Если нужно лишь указать вид "отдельного" (полагаю что подразумевается частное) решения, то существует специальное правило (прикрепленный файл)

В данном случае неоднородность $f(x) = 2x + 3$

у которой $\alpha = 0, \beta = 0, q = 1, l=0$

$\alpha + i\times \beta = 0$ совпадает с корнем характеристического уравнения $\lambda_1 = 0$, встречающимся 1 раз, значит $s = 1$

Таким образом частное решение имеет вид:

$y_p (x) = (A\times x + B)\times x^$

Answer 3

Для того чтобы найти вид отдельного решения (частного решения) данного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, вам нужно использовать метод вариации постоянных, также известный как метод Лагранжа.

У вас есть уравнение: y'' + py' + qy = 2x + 3

Для применения метода вариации постоянных, представьте частное решение в виде: y_particular(x) = A(x)e^0 + B(x)e^(4x)

Здесь A(x) и B(x) - функции, которые нам предстоит найти, а e^0 = 1 и e^(4x) - это решения соответствующего однородного уравнения, связанного с характерным уравнением.

Сначала давайте найдем производные функций A(x) и B(x):

A'(x) = 0 (поскольку производная по x от функции e^0 равна 0) B'(x) = A(x)e^(4x)

Теперь найдем вторые производные:

A''(x) = 0 B''(x) = A'(x)e^(4x) + A(x)(4e^(4x))

Теперь подставим эти производные в исходное уравнение:

(0) + p(0)B'(x) + qB(x) = 2x + 3

Теперь учтем, что p = 0 (поскольку p - это корни характерного уравнения), и упростим уравнение:

0 + 0 + qB(x) = 2x + 3

qB(x) = 2x + 3

Теперь выразим B(x):

B(x) = (2x + 3) / q

Теперь, зная B(x), мы можем найти A(x) с использованием второй производной B(x), которую мы вычислили ранее:

A''(x) = 0

Так как A''(x) = 0, это означает, что A(x) - это линейная функция. Давайте представим A(x) как A(x) = Mx + N, где M и N - некоторые константы.

Тогда:

A'(x) = M A''(x) = 0

Теперь мы можем использовать эти выражения, чтобы найти M и N:

0 = 0 (из уравнения A''(x) = 0) M = 0 (из уравнения A'(x) = M)

Таким образом, A(x) = 0.

Теперь у нас есть выражения для A(x) и B(x):

A(x) = 0 B(x) = (2x + 3) / q

Итак, вид отдельного решения y^(-)(x) для данного дифференциального уравнения будет следующим:

y^(-)(x) = 0 + (2x + 3) / q = (2x + 3) / q

Таким образом, частное решение y^(-)(x) имеет вид (2x + 3) / q.