Question

Диф. уравнения. Дано уравнение y'+p*y'+q8y=2x+3, y его характерного уравнения есть корни k1 = k2 = 2. Указать вид отдельного решения y⁻⁻ (соре за то, что условие такое непонятное, переводила с украинского)

Answer 1

Ответ:

Задано линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами (ЛНДУ 2 пор.). И заданы корни характеристического многочлена . Указать вид частного решения ЛНДУ 2 порядка по виду правой части этого уравнения .

$y''+py'+qy=2x+3\ \ ,\ \ \ k_1=k_2=2\\\\f(x)=2x+3=e^{0\cdot x}\cdot (2x+3)\ \ \Rightarrow \ \ \ \alpha =0\ne k_1\ne k_2\ \ \Rightarrow \ \ \ x^{s}=x^0\\\\y_{chastnoe\ neodnorodn.}=e^{0\cdot x}\cdot (Ax+B)\cdot x^0\\\\y_{chastnoe\ neodnorodn.}=Ax+B$

Answer 2

Давайте рассмотрим данное дифференциальное уравнение:

y' + p*y' + q8y = 2x + 3

У вас есть информация, что характеристическое уравнение имеет корни k1 = k2 = 2. Это означает, что общее решение однородной части уравнения (части, не зависящей от правой части) будет иметь вид:

y_h = C1e^(2x) + C2x*e^(2x)

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь мы можем искать частное решение, чтобы получить полное решение уравнения. Мы видим, что правая часть уравнения - 2x + 3 - является линейной функцией. Поэтому будем искать частное решение в виде линейной функции, y_p = ax + b, где a и b - неизвестные коэффициенты.

Теперь найдем производные y_p:

y_p' = a y_p'' = 0

Подставим y_p и его производные в исходное уравнение:

0 + p*a + q8(ax + b) = 2x + 3

Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

p*a + 8b = 0 (коэффициент при x) q8a = 2 (коэффициент при константе)

Из второго уравнения выразим a:

a = 2 / (8q)

Теперь подставим это значение a в первое уравнение:

p * (2 / (8q)) + 8b = 0

Теперь выразим b:

8b = -2p / (8q) b = -p / (8q)

Итак, у нас есть значения a и b:

a = 2 / (8q) b = -p / (8q)

Теперь мы можем записать частное решение:

y_p = (2 / (8q))x - (p / (8q))

Итак, полное решение дифференциального уравнения имеет вид:

y = y_h + y_p y = C1e^(2x) + C2x*e^(2x) + (2 / (8q))x - (p / (8q))

Где C1 и C2 - произвольные постоянные, а p и q - параметры, заданные в вашем уравнении.