Question

Найдите наибольшее значение функции y=1/3 *x^3-3/2x^2+2x+1 на отрезке 1,5;9

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

первая производная

y=1/3 *x³-3/2x²+2x+1

критические точки ищем при помощи первой производной

y' = x²+3x+2

x²+3x+2=0  ⇒ x1 = -1;  x2 = -2 - это критические точки или точки экстремумов

данные точки не входят в наш интервал, поэтому их не принимаем во внимание

на данном нам интервале локальных минимумов нет

поэтому смотрим на значение функции на концах интервала

у(1,5) = 8,5

у(9) =  383.5

ответ

на интервале [1.5; 9] максимальное значение функции достигается на конце интервала

у(9) = 383,5

на первом рисунке нужная нам точка максимума на отрезке [1.5; 9]

на втором рисунке так, на всякий случай, вид локальных минимума и максимума, не входящих в наш интервал.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции $y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 1$ на отрезке $[1,5; 9]$, нам нужно сначала найти критические точки функции в этом интервале, а затем сравнить значения функции в этих точках, а также на концах интервала.

1. Найдем производную функции $y$ по $x$: $y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2x + 1\right)$ $y' = x^2 - 3x + 2$

2. Теперь найдем критические точки, решив уравнение $y' = 0$: $x^2 - 3x + 2 = 0$

Это квадратное уравнение можно разложить на множители: $(x - 1)(x - 2) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$, которые соответствуют критическим точкам: $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

3. Теперь найдем значения функции $y$ в этих критических точках и на концах интервала:

• $y(1.5)$
• $y(2)$
• $y(9)$

Подставляя $x$ в функцию $y$, получаем: $y(1.5) = \frac{1}{3}(1.5)^3 - \frac{3}{2}(1.5)^2 + 2(1.5) + 1$ $y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{3}{2}(2)^2 + 2(2) + 1$ $y(9) = \frac{1}{3}(9)^3 - \frac{3}{2}(9)^2 + 2(9) + 1$

Теперь вычислим значения $y$ в этих точках: $y(1.5) = -0.375$ $y(2) = 1$ $y(9) = 100$

Сравнив эти значения, мы видим, что наибольшее значение функции $y$ на интервале $[1.5; 9]$ равно 100, и оно достигается при $x = 9$. Таким образом, максимальное значение функции равно 100.