Question

У Дениса есть карточки с числами от 1 до 55. Сколько существует способов выбрать две карточки так, чтобы разность чисел на карточках равнялась 11, а произведение делилось на 5? Порядок выбранных карточек не важен: например, способ выбора карточек с числами 5 и 16, а также способ выбора карточек с числами 16 и 5 — это один и тот же способ.

Answer 1

Ответ:

17 способов.

Пошаговое объяснение:

Составим систему:

{ x - y = 11

{ x*y = 5k, то есть делится на 5.

Из 2 уравнения ясно, что одно из чисел делится на 5.

От 1 до 55 - это числа 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55.

Второе число должно быть на 11 больше или меньше, чем первое.

Подходят такие числа:

5+11=16; 10+11=21; 15-11=4; 15+11=26; 20-11=9; 20+11=31; 25-11=14; 25+11=36; 30-11=19;

30+11=41; 35-11=24; 35+11=46; 40-11=29; 40+11=51; 45-11=34; 50-11=39; 55-11=44.

Заметим, что эти числа определяют пару однозначно.

Например, если мы первым вынули 24, то вторым может быть только 35.

А вот если первым вынули 35, то вторым может быть и 24, и 46.

Поэтому кол-во способов равно кол-ву чисел второй группы, то есть 17.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем разбить её на две части: выбор чисел так, чтобы разность равнялась 11, и выбор чисел так, чтобы произведение делилось на 5. Затем мы найдем пересечение этих двух множеств способов выбора и определим, сколько всего существует способов удовлетворить обоим условиям.

1. Разность чисел равна 11:

   • Пусть одна из выбранных карточек имеет номер x, тогда другая карточка должна иметь номер x+11. Однако у нас есть ограничение от 1 до 55, поэтому x должно быть в диапазоне от 1 до 44 (55 - 11 + 1).
   • Таким образом, есть 44 способа выбрать пару карточек, удовлетворяющих этому условию.

2. Произведение чисел должно делиться на 5:

   • Произведение двух чисел делится на 5, если хотя бы одно из чисел делится на 5. Поэтому мы должны выбрать одну карточку, которая имеет номер, делится на 5, и вторую карточку, которая может быть любым числом от 1 до 55 (без ограничений).
   • Количество карточек, номера которых делятся на 5, равно 11 (5, 10, 15, 20, ..., 50, 55).

Теперь найдем пересечение этих двух множеств способов выбора:

• Есть 44 способа выбрать пару карточек с разностью 11.
• Есть 11 способов выбрать одну карточку, номер которой делится на 5.
• Так как порядок выбранных карточек не важен, то для каждой пары карточек с разностью 11, есть 2 способа выбрать их порядок.

Теперь можем найти общее количество способов, удовлетворяющих обоим условиям:

Общее количество способов = (количество способов выбрать пару карточек с разностью 11) * (количество способов выбрать одну карточку, номер которой делится на 5) * (количество способов выбрать порядок)

Общее количество способов = 44 * 11 * 2 = 968 способов.

Итак, существует 968 способов выбрать две карточки так, чтобы разность чисел на карточках равнялась 11, а произведение делилось на 5.