Question

1. В стопке лежат одинаковые карточки, на которых записаны числа от 1 до 12. Билл взял одну карточку и тайно отметил на ней 4 числа. Марк может сделать то же самое с несколькими карточками. Затем карточки открыва- ют. Если на одной из карточек Марка хотя бы два из четырёх отмеченных чисел совпадут с числами Билла, то Марк выигрывает. Какое наименьшее число карточек должен взять Марк и как их заполнить, чтобы наверняка выиграть?2. Дан прямоугольник  abcd . На луче dc отложен отрезок dk, равный bd.Точка m — середина отрезка bk. Докажите, что am — биссектриса углаbac. 3. У фокусника есть два комплекта по 8 карточек. На розовых карточках за- писаны целые числа от 0 до 7. На первой голубой карточке написано 1, а число на каждой следующей голубой карточке в 8 раз больше предыдуще- го. Фокусник раскладывает карточки попарно (розовую с голубой). Затем зрители перемножают числа в каждой паре и находят сумму всех 8 про- изведений. Фокус состоит в том, что в сумме должно получиться простое число. Подскажите фокуснику, какие карточки можно для этого объеди- нить в пары (или докажите, что у него ничего не получится). 4. На плоскости нарисовали 5 красных точек. Все середины отрезков меж- ду ними отметили синим цветом. Расположите красные точки так, чтобы синих точек было минимально возможное количество. (Точка может ока- заться красной и синей одновременно.) 5. По кругу в каком-то порядке выписаны числа от 1 до 88. Какова минималь- но возможная сумма модулей разностей между соседними числами? 6. На продажу выставлены 20 книг по цене от 7 до 10 евро и 20 обложек по цене от 10 центов до 1 евро, причём все цены разные. Смогут ли Том иЛеопольд купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же сумму денег?

Answer 1

Смогут например 7.10 а другой 6.50 или 6

Answer 2

1. Для того чтобы Марк наверняка выиграл, ему нужно взять 5 карточек и отметить на каждой из них по 4 числа так, чтобы в каждой карточке было хотя бы одно число, совпадающее с числами на карточке Билла. Таким образом, Марк сможет гарантированно выиграть, потому что он всегда найдет хотя бы одну карточку, на которой есть хотя бы два совпадающих числа с карточкой Билла.

2. Для доказательства того, что am - биссектриса угла bac, нужно показать, что угол bam равен углу cam. Поскольку m - середина отрезка bk, то am является медианой треугольника bak, и по свойству медианы она делит угол bak пополам. Таким образом, угол bam равен углу cam, и am действительно является биссектрисой угла bac.

3. Для того чтобы сумма произведений чисел в каждой паре была простым числом, фокуснику нужно объединить розовые карточки с голубыми таким образом, чтобы в каждой паре голубая карточка была той, на которой написано 1. Таким образом, фокусник должен объединить голубую карточку с числом 1 с розовой карточкой, на которой написано любое простое число (кроме 1). Это приведет к тому, что сумма произведений в каждой паре будет простым числом.

4. Чтобы минимизировать количество синих точек, расположите 5 красных точек на вершинах правильного пятиугольника. В этом случае синих точек будет 5 (по одной на каждом ребре), и это минимально возможное количество.

5. Минимальная сумма модулей разностей между соседними числами будет получена, если выписать числа от 1 до 88 в порядке возрастания, а затем сложить модули разностей соседних чисел. Таким образом, сумма будет равна 87.

6. Чтобы Том и Леопольд смогли купить по книге с обложкой, заплатив одну и ту же сумму денег, цена книги и обложки должна быть одной и той же. Это возможно, если у них найдется книга и обложка с одинаковой ценой в диапазоне от 7 до 10 евро и от 10 центов до 1 евро соответственно, но это зависит от конкретных цен на книги и обложки.