Question

Заполните пропуски так, чтобы получилось верное решение. Задача. По кругу стоят 130 детей, среди которых есть хотя бы один мальчик и хотя бы одна девочка. Каждый ребёнок сказал: «Мои соседи — мальчик и девочка». Известно, что неправду сказали все мальчики и ровно одна девочка. Сколько всего могло быть мальчиков? Решение. Разобьём всех детей на группы подряд идущих девочек и подряд идущих мальчиков (по условию есть и те, и другие). Предположим, найдётся группа, в которой хотя бы 2 мальчика. Тогда крайний из них сказал Выбрать , так как он стоит между мальчиком и девочкой. Противоречие. Значит, все группы мальчиков состоят из 1 ребёнка. Тогда каждый мальчик находится между двумя девочками, и он действительно сказал Выбрать . Рассмотрим, сколько девочек может быть в одной группе. Если в группе хотя бы 4 девочки, то все девочки, не стоящие с краю, сказали Выбрать , так как каждая из них стоит между двумя девочками. Таких девочек хотя бы 2. Противоречие, ведь такая девочка по условию всего 1. Если в группе 3 девочки, то только средняя из них сказала Выбрать , а две крайние — Выбрать . Если в группе 2 девочки, то каждая из них сказала Выбрать . Если в группе 1 девочка, то она сказала Выбрать , так как она находится между двумя мальчиками. Следовательно, группы девочек устроены следующим образом: ровно одна группа из Выбрать девочек и несколько групп из Выбрать . Если есть группа из 1 девочки, то временно забудем про неё и одного соседнего с ней мальчика. Тогда оставшиеся 128 детей разобьются на блоки из 2 девочек и 1 мальчика. Но 128 не делится на 3. Противоречие. Если же есть группа из 3 девочек, то временно забудем одну из девочек этой группы. Тогда оставшиеся 129 детей разобьются на блоки из Выбрать . Таких блоков , поэтому мальчиков в кругу ровно . Исходя из рассуждений выше, несложно построить пример, когда такой вариант реализуется (придумайте его самостоятельно). Вместо "выбрать" напишите "правда" или "неправда"

Answer 1

Ответ: мальчиков в кругу ровно 43.

Пошаговое объяснение:

ЗАДАЧА. По кругу стоят 130 детей, среди которых есть хотя бы один мальчик и хотя бы одна девочка. Каждый ребёнок сказал: «Мои соседи — мальчик и девочка». Известно, что неправду сказали все мальчики и ровно одна девочка. Сколько всего могло быть мальчиков?

РЕШЕНИЕ: Разобьём всех детей на группы подряд идущих девочек и подряд идущих мальчиков (по условию есть и те, и другие).

Предположим, найдётся группа, в которой хотя бы 2 мальчика. Тогда крайний из них сказал правду, так как он стоит между мальчиком и девочкой. Противоречие. Значит, все группы мальчиков состоят из 1 ребёнка. Тогда каждый мальчик находится между двумя девочками, и он действительно сказал неправду.

Рассмотрим, сколько девочек может быть в одной группе.

Если в группе хотя бы 4 девочки, то все девочки, не стоящие с краю, сказали неправду, так как каждая из них стоит между двумя девочками. Таких девочек хотя бы 2. Противоречие, ведь такая девочка по условию всего 1.

Если в группе 3 девочки, то только средняя из них сказала неправду, а две крайние — правду.

Если в группе 2 девочки, то каждая из них сказала правду.

Если в группе 1 девочка, то она сказала неправду, так как она находится между двумя мальчиками.

Следовательно, группы девочек устроены следующим образом: ровно одна группа из трех девочек (или же одна девочка) и несколько групп из двух.

Если есть группа из 1 девочки, то временно забудем про неё и одного соседнего с ней мальчика. Тогда оставшиеся 128 детей разобьются на блоки из 2 девочек и 1 мальчика. Но 128 не делится на 3. Противоречие.

Если же есть группа из 3 девочек, то временно забудем одну из девочек этой группы. Тогда оставшиеся 129 детей разобьются на блоки из 2 девочек и 1 мальчика. Таких блоков будет 129 : 3 = 43, поэтому мальчиков в кругу ровно 43.

То есть по кругу стоят 130 детей в такой последовательности: 1 мальчик, 2 девочки, и случайным образом поставленная между двумя девочками еще 1 девочка.

Answer 2

Рассмотрим пример, чтобы заполнить пропуски:

1. Пусть в группе, состоящей из мальчиков, будет 1 мальчик, и он сказал "правда".
2. Пусть среди девочек будет 1 группа из 3 девочек, и они все сказали "правда".
3. Пусть остальные девочки составляют группы из 2 девочек, и все они сказали "неправда".

Теперь давайте проверим условия задачи:

• Все мальчики сказали "правда", и только одна девочка сказала "правда" (средняя из 3 девочек в группе из 3).
• Каждая девочка, не стоящая с краю, находится между двумя девочками, и все они сказали "неправда".
• Мальчик находится между двуми девочками и сказал "правда".

Таким образом, в этом примере всего 1 мальчик, что удовлетворяет условию задачи.