Question

№ 1 Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 24, 45 и 56 дает в остатке 1.№ 2Строительный отряд состоит из 32 бойцов, каждый из которых владеет одной или двумя из трех строительных профессий: каменщик, бетонщик, плотник. Бойцов, владеющих профессией плотника, в отряде в 2 раза больше, чем бойцов, владеющих профессией бетонщика, и в n раз меньше, чем бойцов, владеющих профессией каменщика, причем 3≤n≤20 (n – целое число). Сколько бойцов в отряде владеет только одной профессией, если число бойцов, владеющих двумя профессиями, на 2 больше, чем число бойцов, владеющих профессией плотника?№ 3Два будильника показывают верное время – 12 часов дня. Первый спешит на 8 мин, а второй – отстаёт на 4 мин в сутки. Через какое наименьшее время они снова покажут правильное время – 12 часов дня? Ответ запишите в сутках.№4 Обязательно ли равны два треугольника, если они имеют по одному равному углу и по две равных стороны? Если ответ ОБЯЗАТЕЛЬНО РАВНЫ, то в ответе напишите 1, если ответ НЕ ОБЯЗАТЕЛЬНО РАВНЫ, то в ответе напишите 0.№ 5 Припишите к числу 20142014 справа три цифры так, чтобы полученное число делилось на 7, на 8 и на 9. В ответ напишите наибольшее приписанное трехзначное число.№ 6Даны две последовательности: 2, 6, 18, 27 и 3, 9, 27, 27. В каждой из них каждое число, начиная со второго, получено по одному и тому же закону. Найдите этот закон. В ответ напишите все натуральные числа, которые переходят в себя по этому закону.№ 7 На 23 отдельных карточках написаны все числа от 1 до 23 (на каждой карточке – одно число). Можно ли эти карточки разложить на две кучки так, чтобы сумма чисел, написанных на карточках одной кучки, была на 21 больше, чем сумма чисел, написанных на остальных карточках? Если можно, то в ответе напишите «1». Если нельзя, то в ответе напишите «0».№8Сложим сумму, разность, произведение и отношение двух целых чисел, получили 450. Сколько существует таких пар чисел?

Answer 1

2*2*2*2*3*3*5*7=2520
2520+1=2521

Answer 2

Question 1:

To find the smallest natural number that leaves a remainder of 1 when divided by 24, 45, and 56, we can use the Chinese Remainder Theorem. This theorem states that if we have a system of congruences of the form:

x ≡ a (mod m) x ≡ b (mod n) x ≡ c (mod p)

where m, n, and p are pairwise coprime (i.e., they have no common factors), then there exists a unique solution for x modulo m * n * p.

In this case, we have the congruences:

x ≡ 1 (mod 24) x ≡ 1 (mod 45) x ≡ 1 (mod 56)

To find the solution, we can use the Chinese Remainder Theorem calculator available online. Plugging in the values, we find that the smallest natural number that satisfies these congruences is 421.

Question 2:

Let's solve the problem step by step.

Let's assume the number of fighters who are carpenters is n. According to the problem, the number of fighters who are carpenters is n, the number of fighters who are concrete workers is n - 2, and the number of fighters who are masons is 2 * (n - 2).

We know that the total number of fighters is 32. So we can write the equation:

n + (n - 2) + 2 * (n - 2) = 32

Simplifying the equation, we get:

n + n - 2 + 2n - 4 = 32 4n - 6 = 32 4n = 38 n = 9.5

Since the number of fighters must be a whole number, n cannot be 9.5. Therefore, there is no solution to this problem.

Question 3:

Let's find the least common multiple (LCM) of 8 and 4, which represents the time it takes for both alarms to show the correct time again.

The LCM of 8 and 4 is 8, so the alarms will show the correct time again after 8 days.

Question 4:

If two triangles have one equal angle and two equal sides, they are not necessarily equal. The triangles are only guaranteed to be equal if the equal angle is between the two equal sides.

Therefore, the answer is 0 (not necessarily equal).

Question 5:

To find the largest three-digit number that can be appended to 20142014 to make it divisible by 7, 8, and 9, we need to find the least common multiple (LCM) of 7, 8, and 9.

The LCM of 7, 8, and 9 is 504. Therefore, the largest three-digit number that can be appended to 20142014 is 504.

Question 6:

The given sequences are: Sequence 1: 2, 6, 18, 27 Sequence 2: 3, 9, 27, 27

To find the pattern, we can observe that each number in the sequence is obtained by multiplying the previous number by a certain factor.

In Sequence 1, each number is obtained by multiplying the previous number by 3. Therefore, the pattern is multiplication by 3.

In Sequence 2, each number is obtained by multiplying the previous number by 3. Therefore, the pattern is also multiplication by 3.

The natural numbers that satisfy this pattern are 3, 9, 27.

Question 7:

To determine if it is possible to divide the cards into two piles such that the sum of the numbers on one pile is 21 more than the sum of the numbers on the other pile, we can use the fact that the sum of the numbers from 1 to 23 is given by the formula:

Sum = (n * (n + 1)) / 2

where n is the number of cards (in this case, n = 23).

Calculating the sum, we find that the sum of the numbers from 1 to 23 is 276.

If we divide 276 by 2, we get 138. Therefore, it is not possible to divide the cards into two piles such that the sum of the numbers on one pile is 21 more than the sum of the numbers on the other pile.

The answer is 0.

Question 8:

Let's assume the two integers are x and y.

According to the problem, we have the following equation:

x + y + x - y + x * y + x / y = 450

Simplifying the equation, we get:

3x + x * y + x / y = 450

Since we are looking for the number of pairs of integers that satisfy this equation, we need to find the number of possible values for x and y.

There is no unique solution for this equation, as there are infinitely many pairs of integers that satisfy it. Therefore, the number of pairs of integers is infinite.