Question

Известно, что ctg= -4/3, 3п/2<х<2п. Найдите cos 2x.пожалуйста, срочно надо​

Answer 1

Есть формула, которая выводится из основного тригонометрического тождества и которая связывает котангенс и синус.

$1+ctg^{2}(x) = \frac{1}{sin^{2}(x) }$

*чтобы её вывести, подели каждое слагаемое и сумму в основном тригонометрическом тождестве на синус в квадрате.

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x) =1 |:(sin^{2}(x))$

$1+\frac{cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)} = \frac{1}{sin^{2}(x)}$

$1+ctg^{2}(x) = \frac{1}{sin^{2}(x) }$

**аналогичная формула существует и для связи тангенса и косинуса.(только теперь нужно делить на косинус в квадрате).

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x) =1 |:(cos^{2}(x))$

$\frac{sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)} + 1 = \frac{1}{cos^{2}(x)}$

$1+tg^{2}(x)=\frac{1}{cos^{2}(x)}$

Итак, зная это выведем из формулы синус:

$1+ctg^{2}(x) = \frac{1}{sin^{2}(x) }$

(возведём обе стороны выражения в "-1" степень, вследствие этого числители и знаменатели "перевернутся")

$\frac{1}{1+ctg^{2}(x)} = sin^{2}(x)$

Тогда:

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{1+ctg^{2}(x)} }$

Подставляем исходное значение котангенса:

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{1+(-\frac{4}{3})^{2}}$

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{1+\frac{16}{9} }$

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{\frac{9}{9} +\frac{16}{9} }$

$sin(x) = \sqrt{\frac{1}{\frac{25}{9} }$

$sin(x) = \sqrt{\frac{9}{25}$

$sin(x) =$ ±$\frac{3}{5}$

Поскольку угол "x" лежит в четвёртой четверти по условию (от 3п/2 до 2п), а значения синусов в этой четверти отрицательные, следовательно:

$sin(x) = -\frac{3}{5}$

Формула косинуса двойного угла (1):

$cos2x = cos^{2}(x)-sin^{2}(x)$

Выразим косинус из основного тригонометрического тождества (2):

$sin^{2}(x)+cos^{2}(x) =1$

$cos^{2}(x) =1-sin^{2}(x)$

Подставим полученное выражение косинуса (2) в формулу косинуса двойного угла (1):

$cos2x = (1-sin^{2}(x)) -sin^{2}(x) = 1 - sin^{2}(x) - sin^{2}(x)$

$cos2x = 1 -2sin^{2}(x)$

Подставим посчитанное ранее значение синуса в полученную формулу и найдем искомый косинус двойного угла:

$cos2x = 1 - 2*(-\frac{3}{5})^{2} = 1-2*\frac{9}{25} = 1-\frac{18}{25} = \frac{25}{25} -\frac{18}{25}$

$cos2x = \frac{7}{25} = \frac{28}{100} = 0,28$

Ответ: 0,28

Answer 2

Для нахождения значения cos(2x) нам нужно использовать тригонометрические тождества. В данном случае, мы можем воспользоваться следующим тождеством:

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)

Сначала найдем sin(x) с использованием ctg(x):

ctg(x) = -4/3

Так как ctg(x) = 1/tan(x), то:

tan(x) = -3/4

Теперь найдем sin(x) и cos(x):

sin(x) = 1/sqrt(1 + tan^2(x)) = 1/sqrt(1 + (-3/4)^2) = 1/sqrt(1 + 9/16) = 1/sqrt(25/16) = 4/5

cos(x) = tan(x) * sin(x) = (-3/4) * (4/5) = -3/5

Теперь мы знаем значения sin(x) и cos(x), и мы можем найти cos(2x):

cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = (-3/5)^2 - (4/5)^2 = 9/25 - 16/25 = -7/25

Итак, cos(2x) = -7/25.