Question

Найти область определения функции z =ln (2x-3y+5) и изобразить на графике (по возможности)

Answer 1

Ответ:

Областью определения функции будет область ниже графика

$\displaystyle y < \frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

Пошаговое объяснение:

Требуется найти область определения функции z =ln (2x-3y+5) и изобразить на графике.

Дана логарифмическая функция:

z =ln (2x-3y+5)

Вспомним определение логарифма:

• Логарифмом положительного числа b по основанию а (a>0; a≠1) называется показатель степени с, в которую надо возвести а, чтобы получить b.
• logₐb = c,  b > 0.

По определению:

2х - 3у + 5 > 0

Выразим у из этого неравенства:

$\displaystyle -3y > -2x-5\;\;\;\;\;|:(-3)\\\\y < \frac{2x+5}{3}\\ \\y < \frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

Построим график

$\displaystyle y = \frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

- линейная функция, график прямая.

Достаточно двух точек:

х = 2; у = 3;

х = -1; у = 1.

Строим график.

Так как неравенство  $\displaystyle y < \frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$  строгое, то сама прямая не входит в область определения.

Искомой областью определения будет область ниже построенного графика (синего цвета)

См. вложение.

Answer 2

Для того чтобы найти область определения функции $z = \ln(2x - 3y + 5)$, нужно учесть, что логарифм естественный (натуральный) $\ln$ определен только для положительных аргументов. То есть выражение внутри логарифма $2x - 3y + 5$ должно быть больше нуля:

$2x - 3y + 5 > 0$

Теперь давайте решим это неравенство относительно $x$ и $y$:

$2x - 3y + 5 > 0$

Выразим $x$:

$2x > 3y - 5$ $x > \frac{3y - 5}{2}$

Теперь выразим $y$:

$-3y + 5 > -2x$ $3y < 2x - 5$ $y < \frac{2x - 5}{3}$

Итак, мы получили два неравенства:

$x > \frac{3y - 5}{2}$ $y < \frac{2x - 5}{3}$

Эти неравенства определяют область определения функции $z = \ln(2x - 3y + 5)$. Областью определения будет множество всех точек $(x, y)$, которые удовлетворяют этим неравенствам.

Теперь давайте попробуем изобразить эту область на графике. Это будет некоторая область в плоскости $xy$.

К сожалению, я не могу непосредственно создать график, так как моя функциональность ограничивается текстовыми ответами. Однако вы можете использовать графический пакет или онлайн-графический калькулятор, чтобы построить график этой области, используя неравенства $x > \frac{3y - 5}{2}$ и $y < \frac{2x - 5}{3}$. На графике вы увидите область в плоскости $xy$, которая представляет собой область определения вашей функции $z = \ln(2x - 3y + 5)$.