Question

ТЕОРЕМА ЙМОВІРНОСТІ Ймовірність того, шо за даний проміжок часу утвориться черга біля каси вокзалу, одна- кова для всіх кас, і дорівкюватиме 0.4. На вокзалі с 5 кас. Яка ймовірність того, що протягом даного проміжку часу утвориться черга: а) рівно біля трьох касб) біля не бальше двох кас?​

Answer 1

а) р=0.4

q=1-0.4=0.6

n=5

m=3

___________

P₅(m=3)=?

если число сочетаний из n по m обозначить как  C(n; m) то по формуле Бернулли вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно m раз, равно

Рn(m)=C(n;m)*p^m*q^(n-m).

Решаем по формуле Бернулли, искомая вероятность равна произведению  числа сочетаний из 5 по 3 на произведение

0.4³ *0.6⁵⁻³=0.4³*0.6²=0.064*0.36=0.02304; число сочетаний из 5 по 3, равно 5!/(3!*(5-3)!)=5!/(3!*2!)=5*4/2=10

значит, искомая вероятность равна 10*0.02304=0.2304=23.04%

б) а) р=0.4

q=1-0.4=0.6

n=5

m≤2

не больше - значит, или меньше, или равно двум , т.е. очередь или около двух, или  около одной или вообще ни около одной кассы очереди не будет.

можно использовать формулу  Бернулли для каждого события: очередь или около двух, или  около одной или вообще ни около одной кассы очереди не будет.. а затем найденные вероятности сложить.

0!=1; 0.4⁰=1;

(5!/(2!*3!))*0.4²*0.6³+(5!/(1!*4!))*0.4*0.6⁴+(5!/(0!*5!))*0.4⁰*0.6⁵=

(5*4/2)*0.16*0.216+5*0.4*0.1296+0.07776=0.3456+0.2592+0.07776=

0.68256=2133/3125

0.68256=68.256%

Answer 2

Для вирішення цього завдання ми можемо використовувати біноміальний розподіл ймовірностей, оскільки у нас є фіксована ймовірність утворення черги (p = 0.4) і фіксована кількість незалежних подій (утворення черги біля кожної з 5 кас).

a) Щоб знайти ймовірність того, що протягом даного проміжку часу утвориться черга рівно біля трьох кас, ми можемо використовувати формулу біноміального розподілу:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k),

де:

• P(X = k) - ймовірність, що черга утвориться рівно біля k кас,
• n - кількість кас (5 в даному випадку),
• k - кількість кас, біля яких утвориться черга (3 в даному випадку),
• p - ймовірність утворення черги (0.4 в даному випадку).

P(X = 3) = C(5, 3) * 0.4^3 * (1-0.4)^(5-3)

P(X = 3) = 10 * 0.064 * 0.36

P(X = 3) = 0.2304

Отже, ймовірність того, що утвориться черга рівно біля трьох кас, дорівнює приблизно 0.2304.

b) Щоб знайти ймовірність того, що протягом даного проміжку часу утвориться черга біля не більше двох кас, ми можемо знайти суму ймовірностей утворення черги біля 0, 1 і 2 кас:

P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)

Для кожного з цих випадків ми використовуємо ту ж формулу біноміального розподілу, що і в пункті a).

P(X = 0) = C(5, 0) * 0.4^0 * (1-0.4)^5 P(X = 1) = C(5, 1) * 0.4^1 * (1-0.4)^4 P(X = 2) = C(5, 2) * 0.4^2 * (1-0.4)^3

Обчислимо ці значення:

P(X = 0) = 1 * 1 * 0.1296 = 0.1296 P(X = 1) = 5 * 0.4 * 0.2304 = 0.4608 P(X = 2) = 10 * 0.16 * 0.1296 = 0.2074

Тепер знайдемо суму цих ймовірностей:

P(X ≤ 2) = 0.1296 + 0.4608 + 0.2074 = 0.798

Отже, ймовірність того, що утвориться черга біля не більше двох кас, дорівнює приблизно 0.798.