Question

Помогите:2cos2x=1+4cosx

Answer 1

Ответ:

$x = \pm \frac{2\pi }{3} + 2\pi n, \ n \in Z$

Пошаговое объяснение:

Дано: 2cos2x = 1 + 4cosx

Формула двойного угла:

cos2x = 2cos²x - 1

Откуда она взялась?

Мы знаем формулу сложения аргументов cos(α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ.

Так как cos2x, то же самое, что и cos(x + x), получается:

cos(x + x) = cosx * cosx - sinx * sinx = cos²x - sin²x

Мы знаем ещё одну тригонометрическую формулу:

cos²x + sin²x = 1

Выразим отсюда sin²x:

sin²x = 1 - cos²x

Вернемся к предыдущему уравнению и подставим 1 - cos²x вместо sin²x:

cos²x - sin²x = cos²x - (1 - cos²x) = cos²x - 1 + cos²x = 2cos²x - 1

Так и получается, что cos2x = 2cos²x - 1.

Тогда:

2(2cos²x - 1) = 1 + 4cosx

Раскроем скобки:

4cos²x - 2 = 1 + 4cosx

Перенесем слагаемые из правой части в левую:

4cos²x - 2 - 1 - 4cosx = 0

4cos²x - 4cosx - 3 = 0

Пусть t = cosx, тогда:

4t² - 4t - 3 = 0

D = (-4)² - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64

D > 0, значит уравнение имеет два корня.

$t_{1} = \frac{4 + \sqrt{64} }{2 * 4} = \frac{4 + 8}{8} = \frac{12}{8} = 1,5$

$t_{2} = \frac{4 - \sqrt{64} }{2 * 4} = \frac{4 - 8}{8} = \frac{-4}{8} = -0,5$

Вернемся к замене:

При t₁ = 1,5

cosx = 1,5, не может являться корнем уравнения, так как -1 ≤ cosx ≤ 1.

При t₂ = -0,5

cosx = -0,5

$x = \pm \frac{2\pi }{3} + 2\pi n, \ n \in Z$

Answer 2

Давайте решим уравнение 2cos(2x) = 1 + 4cos(x) шаг за шагом.

1. Начнем с использования тождества двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. Теперь уравнение выглядит следующим образом:

2(2cos^2(x) - 1) = 1 + 4cos(x)

2. Распределим 2 по обеим сторонам:

4cos^2(x) - 2 = 1 + 4cos(x)

3. Перенесем все члены на одну сторону уравнения:

4cos^2(x) - 4cos(x) - 3 = 0

4. Теперь у нас есть квадратное уравнение. Давайте представим cos(x) как переменную, например, t:

4t^2 - 4t - 3 = 0

5. Решим это квадратное уравнение с помощью квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac, где a = 4, b = -4, и c = -3

D = (-4)^2 - 4 * 4 * (-3) = 16 + 48 = 64

6. Теперь найдем два значения t, используя квадратное уравнение:

t1 = (-b + √D) / (2a) = (4 + √64) / (2 * 4) = (4 + 8) / 8 = 12 / 8 = 3/2

t2 = (-b - √D) / (2a) = (4 - √64) / (2 * 4) = (4 - 8) / 8 = -4 / 8 = -1/2

7. Теперь у нас есть два значения t: t1 = 3/2 и t2 = -1/2. Но мы знаем, что cos(x) находится в диапазоне [-1, 1], поэтому t1 = 3/2 не подходит.

8. Рассмотрим t2 = -1/2. Теперь найдем соответствующий угол x:

cos(x) = -1/2

x = arccos(-1/2)

x = π/3

Таким образом, решение уравнения 2cos(2x) = 1 + 4cos(x) в диапазоне [0, 2π] это x = π/3.