Question

2log^2 4 (4cosx)-7log 4 (4cosx)+3=0 Log по основании 4 Доброго времени суток. Написала 6-го егэ. Задания были очень сложные. Запомнила 13-ый номер. Помогите решить.

Answer 1

ОДЗ
cosx>0⇒x∈(π/2+2πn;π/2+2πn,n∈z)
log(4)(4cosx)=a
2a²-7a+3=0
D=49-24=25
a1=(7-5)/4=1/2⇒log(4cosx)=1/2
4cosx=2⇒cosx=1/2⇒x=+-π/3+2πn,n∈z
a2=(7+5)/4=3⇒log(4)(4cosx)=3
4cosx=64⇒cosx=16>1 нет решения

Answer 2

Конечно, давайте решим уравнение поэтапно.

У вас есть уравнение:

\[ 2\log^2(4 + 4\cos x) - 7\log(4 + 4\cos x) + 3 = 0 \]

Перепишем \(\log\) с основанием 4 в виде логарифма по основанию 2:

\[ 2(\log_2(4 + 4\cos x))^2 - 7(\log_2(4 + 4\cos x)) + 3 = 0 \]

Теперь введем замену. Пусть \( y = \log_2(4 + 4\cos x) \), тогда уравнение станет:

\[ 2y^2 - 7y + 3 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию. В данном случае, квадратное уравнение выглядит так:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где у нас есть \( a = 2 \), \( b = -7 \) и \( c = 3 \). Подставим эти значения:

\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(2)(3)}}{2(2)} \]

\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} \]

\[ y = \frac{7 \pm \sqrt{25}}{4} \]

Таким образом, у нас есть два решения:

\[ y_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3 \]

\[ y_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2} \]

Теперь, подставим обратно в исходную переменную \( y = \log_2(4 + 4\cos x) \):

\[ \log_2(4 + 4\cos x) = 3 \]

Для первого решения:

\[ 4 + 4\cos x = 2^3 \]

\[ 4\cos x = 8 - 4 \]

\[ \cos x = \frac{4}{4} \]

\[ \cos x = 1 \]

Решение этого уравнения - \( x = 0 \).

Теперь для второго решения:

\[ \log_2(4 + 4\cos x) = \frac{1}{2} \]

\[ 4 + 4\cos x = 2^{\frac{1}{2}} \]

\[ 4\cos x = \sqrt{2} - 4 \]

\[ \cos x = \frac{\sqrt{2} - 4}{4} \]

Теперь найдем угол \( x \). Учтем, что \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), поэтому:

\[ x = \frac{\pi}{4} \]

Таким образом, уравнение имеет два решения:

\[ x = 0 \]

\[ x = \frac{\pi}{4} \]