Question

Решить определённый интеграл даю 100 балловинтеграл(лимит от 1 до 2): (1/x)×e^(1/(x^2))​

Answer 1

Для решения определенного интеграла

∫1^2 (1/x) e^(1/(x^2)) dx

мы можем сделать замену переменной u=1/x, тогда u'=-(1/x^2)dx и dx=-x^2du. Границы интегрирования также нужно заменить: при x=1 максимальное u=1, при x=2 минимальное u=1/2. Подставляя все это в исходный интеграл, получаем

∫1^2 (1/x) e^(1/(x^2)) dx = ∫1/2^1 e^u du = -e^u |_1/2^1 = -e^(-1) + e^0 = e - 1/e

Таким образом, значение данного определенного интеграла равно e - 1/e.

Answer 2

Чтобы решить данный определенный интеграл, давайте воспользуемся методом интегрирования по частям. Для этого мы будем использовать следующую формулу:

∫u dv = uv - ∫v du,

где u и dv - это части интегрируемой функции, которые мы выбираем. Давайте выберем:

u = e^(1/(x^2)), dv = (1/x) dx.

Теперь вычислим производные и дифференциалы:

du = (-2/x^3) * e^(1/(x^2)) dx, v = ln|x|.

Теперь мы можем использовать формулу интегрирования по частям:

∫(1/x) * e^(1/(x^2)) dx = uv - ∫v du ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) dx = ln|x| * e^(1/(x^2)) - ∫ln|x| * (-2/x^3) * e^(1/(x^2)) dx.

Теперь давайте рассмотрим второй интеграл ∫ln|x| * (-2/x^3) * e^(1/(x^2)) dx. Для упрощения этого интеграла, давайте проведем замену переменной:

t = 1/(x^2), dt = (-2/x^3) dx.

Теперь интеграл примет следующий вид:

∫ln|x| * (-2/x^3) * e^(1/(x^2)) dx = -∫ln|x| * e^t dt.

Этот интеграл можно решить методом интегрирования по частям еще раз, выбрав:

u = ln|x|, dv = -e^t dt.

Посчитаем производные и дифференциалы:

du = (1/x) dx, v = -e^t.

Теперь используем формулу интегрирования по частям для второго интеграла:

-∫ln|x| * e^t dt = -[ln|x| * (-e^t) - ∫(-e^t) * (1/x) dx] -∫ln|x| * e^t dt = ln|x| * e^t + ∫(1/x) * e^t dt.

Теперь у нас есть выражение для исходного интеграла в терминах t:

∫(1/x) * e^(1/(x^2)) dx = ln|x| * e^(1/(x^2)) - [ln|x| * e^t + ∫(1/x) * e^t dt].

Теперь давайте подставим обратную замену t = 1/(x^2):

∫(1/x) * e^(1/(x^2)) dx = ln|x| * e^(1/(x^2)) - [ln|x| * e^(1/(x^2)) + ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) * (-2/x^3) dx].

Обратите внимание, что интеграл ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) * (-2/x^3) dx, который мы получили, совпадает с изначальным интегралом, за исключением знака. Теперь мы можем объединить два интеграла:

∫(1/x) * e^(1/(x^2)) dx = ln|x| * e^(1/(x^2)) - [ln|x| * e^(1/(x^2)) + ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) * (-2/x^3) dx].

Сократим одинаковые члены:

∫(1/x) * e^(1/(x^2)) dx = -ln|x| * e^(1/(x^2)) + ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) * (2/x^3) dx.

Теперь у нас есть выражение для исходного интеграла в терминах себя же, но с противоположным знаком. Обозначим данный интеграл как I:

I = -ln|x| * e^(1/(x^2)) + ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) * (2/x^3) dx.

Теперь мы можем решить уравнение относительно I:

I = -ln|x| * e^(1/(x^2)) + ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) * (2/x^3) dx I + ln|x| * e^(1/(x^2)) = ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) * (2/x^3) dx I = ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) * (2/x^3) dx - ln|x| * e^(1/(x^2)).

Теперь давайте вычислим этот интеграл. Вспомним, что у нас была замена переменной t = 1/(x^2), поэтому мы можем заменить t обратно:

I = ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) * (2/x^3) dx - ln|x| * e^(1/(x^2)) I = ∫(2t * e^t) dt - ln|x| * e^(1/(x^2)).

Теперь мы можем вычислить этот интеграл:

∫(2t * e^t) dt = 2∫t * e^t dt.

Для интегрирования 2t * e^t, давайте воспользуемся интегрированием по частям:

u = t, dv = 2e^t dt du = dt, v = 2e^t.

Применяя формулу интегрирования по частям, получим:

∫(2t * e^t) dt = t * 2e^t - ∫(2e^t * dt) ∫(2t * e^t) dt = 2te^t - 2∫e^t dt ∫(2t * e^t) dt = 2te^t - 2e^t + C,

где C - константа интегрирования.

Теперь мы можем подставить это значение обратно в выражение для I:

I = (2te^t - 2e^t + C) - ln|x| * e^(1/(x^2)).

Теперь давайте вычислим значение I на интервале [1, 2]:

I(2) - I(1) = [(2(2)e^2 - 2e^2 + C) - ln|2| * e^(1/(2^2))] - [(2(1)e^1 - 2e^1 + C) - ln|1| * e^(1/(1^2))] I(2) - I(1) = (4e^2 - 2e^2 + C - 2ln(2)e^(1/4)) - (2e - 2e + C - 0) I(2) - I(1) = (2e^2 - 2ln(2)e^(1/4)).

Таким образом, определенный интеграл ∫(1/x) * e^(1/(x^2)) dx на интервале [1, 2] равен:

I(2) - I(1) = 2e^2 - 2ln(2)e^(1/4).