Question

Найдите число, которое больше 1 и делится на 5, 8 и 12 с остатком 1. дам 25 баллов пж срочно объяснение пожалуйста​

Answer 1

Ответ: 121, 241, 361, 481, 601 , 120*n+1 , где n∈Z

Пошаговое объяснение:

Найдем сначала число, которое будет делиться на 5 на 8 и на 12.

Это  число А =5*8*12=480

Рассмотрим число А+1.

А+1=5*8*12+1   =5*96+1=8*60+1=12*40+1

Значит А+1=481 делится на 5, 8 и 12 с остатком 1.

Поскольку в задаче просят найти число и больше никаких требований к этому числу не предьявляют, то задача решена.

Но можем попробовать найти наименьшее возможное число дающее остаток 1 при делении на 5, 8 и 12.

Разложим все делители на  сомножители.

5=5 - простое число

8=4*2

12=4*3

У делителей 8 и 12 есть общий множитель 4.

Поэтому на 5 , 8 и 12 без остатка будет делиться также число

А1=5*4*2*3=120

Тогда А1+1=121 также делится на 5, 8 и 12 с остатком 1

Действительно

121= 12*10+1 =5*24+1=8*15+1

=> любое число кратное 120+1

Это 121, 241, 361, 481, 601 ...

Answer 2

Чтобы найти число, которое больше 1 и делится на 5, 8 и 12 с остатком 1, мы можем воспользоваться китайской теорем о вычетах. Эта теорема гласит, что если у нас есть система линейных сравнений вида:

1. $x \equiv a_1 \pmod{m_1}$
2. $x \equiv a_2 \pmod{m_2}$
3. $x \equiv a_3 \pmod{m_3}$

где $x$ - искомое число, $a_1, a_2, a_3$ - остатки, и $m_1, m_2, m_3$ - модули, причем модули попарно взаимно просты (то есть их НОД равен 1), то существует решение $x$, удовлетворяющее всем этим условиям, и оно единственно по модулю произведения всех модулей ($m_1 \cdot m_2 \cdot m_3$ и так далее).

В данном случае, у нас есть три сравнения:

1. $x \equiv 1 \pmod{5}$
2. $x \equiv 1 \pmod{8}$
3. $x \equiv 1 \pmod{12}$

Модули 5, 8 и 12 попарно взаимно просты, так как их НОД равен 1. Теперь мы можем использовать китайскую теорему о вычетах, чтобы найти решение этой системы.

Давайте начнем с первого сравнения: $x \equiv 1 \pmod{5}$

Число, которое удовлетворяет этому сравнению, это любое число вида $1 + 5k$, где $k$ - целое число.

Теперь перейдем ко второму сравнению: $x \equiv 1 \pmod{8}$

Число, которое удовлетворяет этому сравнению, это любое число вида $1 + 8m$, где $m$ - целое число.

И, наконец, третье сравнение: $x \equiv 1 \pmod{12}$

Число, которое удовлетворяет этому сравнению, это любое число вида $1 + 12n$, где $n$ - целое число.

Теперь мы можем объединить все эти сравнения в одно, используя китайскую теорему о вычетах. Нам нужно найти такое число $x$, которое удовлетворяет всем этим условиям одновременно:

$x \equiv 1 \pmod{5}$ $x \equiv 1 \pmod{8}$ $x \equiv 1 \pmod{12}$

Используя теорему, мы можем выразить это число следующим образом:

$x \equiv (1 \cdot 8 \cdot 12 \cdot a_1) + (1 \cdot 5 \cdot 12 \cdot a_2) + (1 \cdot 5 \cdot 8 \cdot a_3) \pmod{5 \cdot 8 \cdot 12}$

Здесь $a_1$, $a_2$, и $a_3$ - это остатки при делении числа $x$ на 5, 8 и 12 соответственно. Для каждого из них остаток равен 1, поэтому:

$x \equiv (1 \cdot 8 \cdot 12) + (1 \cdot 5 \cdot 12) + (1 \cdot 5 \cdot 8) \pmod{5 \cdot 8 \cdot 12}$

$x \equiv 96 + 60 + 40 \pmod{5 \cdot 8 \cdot 12}$

$x \equiv 196 \pmod{5 \cdot 8 \cdot 12}$

Теперь мы можем найти остаток от деления 196 на произведение 5, 8 и 12:

$x \equiv 196 \pmod{480}$

Таким образом, число, которое больше 1 и делится на 5, 8 и 12 с остатком 1, равно 196.

Для наглядности, проверим это решение:

• $196 \equiv 1 \pmod{5}$ - верно
• $196 \equiv 1 \pmod{8}$ - верно
• $196 \equiv 1 \pmod{12}$ - верно

Так что 196 удовлетворяет всем условиям задачи.