Question

Решите уравнение 3sin^2x-4sinxcosx+cos^2x=0. Укажите корни, принадлежащие отрезку [П/2;5П/2]

Answer 1

однородное уравнение второй степени.
Делим на (cos(x))^2;
3*(tg(x))^2-4tg(x)+1=0
tg(x)=t ; 3(t)^2 -4t+1=0 ;t=1 t=1/3
tgx=1==>x=pi/4+pi*k
tgx=1/3===>x=arctg(1/3)+pi*n.
Аналогично можно было делить и на (sin(x))^2,но здесь удобнее на косинус.
Ответ: x=pi/4+pi*k
             x=arctg(1/3)+pi*n. 

Answer 2

Х=pi/4+pi*k X=arctg(1/3)+pi*n

Answer 3

Давайте рассмотрим уравнение:

3sin^2(x) - 4sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Используя тригонометрические идентичности, мы можем преобразовать уравнение. Заметим, что:

1. sin^2(x) + cos^2(x) = 1
2. sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Теперь мы можем переписать уравнение в новой форме:

3(1 - cos^2(x)) - 4sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

3 - 3cos^2(x) - 4sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Теперь заменим sin(2x) на 2sin(x)cos(x):

3 - 3cos^2(x) - 4(2sin(x)cos(x)) + cos^2(x) = 0

Упростим уравнение:

3 - 3cos^2(x) - 8sin(x)cos(x) + cos^2(x) = 0

Теперь объединим члены с cos^2(x) и cos(x)sin(x):

2 - 2cos^2(x) - 8sin(x)cos(x) = 0

2(1 - cos^2(x)) - 8sin(x)cos(x) = 0

2sin^2(x) - 8sin(x)cos(x) = 0

Теперь выразим sin^2(x) через cos(x) с использованием тригонометрической идентичности sin^2(x) = 1 - cos^2(x):

2(1 - cos^2(x)) - 8sin(x)cos(x) = 0

2 - 2cos^2(x) - 8sin(x)cos(x) = 0

Теперь у нас есть уравнение относительно cos(x). Мы можем решить его. Для удобства представим cos(x) как t:

2 - 2t^2 - 8sin(x)t = 0

Теперь решим это уравнение относительно t:

2t^2 + 8sin(x)t - 2 = 0

t^2 + 4sin(x)t - 1 = 0

Используем квадратное уравнение. Решения для t:

t = (-4sin(x) ± √(16sin^2(x) + 4)) / 2

t = -2sin(x) ± √(4sin^2(x) + 1)

Теперь вернемся к cos(x), зная, что t = cos(x):

cos(x) = -2sin(x) ± √(4sin^2(x) + 1)

Теперь мы имеем два уравнения:

1. cos(x) = -2sin(x) + √(4sin^2(x) + 1)
2. cos(x) = -2sin(x) - √(4sin^2(x) + 1)

Для определения корней, удовлетворяющих условию x ∈ [π/2, 5π/2], мы можем использовать тригонометрические свойства и ограничения. Косинус и синус имеют определенные значения в этом интервале.

На интервале [π/2, 5π/2]:

• cos(x) ≥ 0 (cosine положителен)
• sin(x) ≤ 0 (sine отрицателен)

Теперь мы можем рассмотреть каждое уравнение по отдельности и проверить, удовлетворяют ли они этим ограничениям.

1. cos(x) = -2sin(x) + √(4sin^2(x) + 1)

На этом интервале для cos(x) справедливо:

cos(x) = cos(π/2) = 0

Уравнение становится:

0 = -2sin(x) + √(4sin^2(x) + 1)

Теперь рассмотрим второе уравнение:

2. cos(x) = -2sin(x) - √(4sin^2(x) + 1)

На этом интервале для cos(x) справедливо:

cos(x) = cos(π) = -1

Уравнение становится:

-1 = -2sin(x) - √(4sin^2(x) + 1)

Теперь давайте решим оба уравнения.

Для первого уравнения (cos(x) = 0):

-2sin(x) + √(4sin^2(x) + 1) = 0

2sin(x) = √(4sin^2(x) + 1)

4sin^2(x) = 4sin^2(x) + 1

0 = 1

Это уравнение не имеет решений.

Для второго уравнения (cos(x) = -1):

-2sin(x) - √(4sin^2(x) + 1) = -1

2sin(x) + √(4sin^2(x) + 1) = 1

2sin(x) = 1 - √(4sin^2(x) + 1)

4sin^2(x) = (1 - √(4sin^2(x) + 1))^2

4sin^2(x) = 1 - 2√(4sin^2(x) + 1) + 4sin^2(x) + 1

0 = -2√(4sin^2(x) + 1)

Это уравнение также не имеет решений.

Итак, данное уравнение 3sin^2x - 4sinxcosx + cos^2x = 0 не имеет решений на интервале [π/2, 5π/2].