Question

РАСПИШИТЕ РЕШЕНИЕ, ОТВЕТЫ ЕСТЬ! 1. Найдите значение cos α, если известно, что sin α = 5/13 и α ∈ II четверти. (Ответ: cos a= -12/13) 2. Решить уравнение sin⁡(x+π)=cos⁡(-π/3) (Ответ: x= (-1)^n п/6-п+пk) 3. Решить уравнение 2 cos^2 x-cos⁡x-1=0 (Ответ: х= 0+2пk; х= +- 2п/3+2пk) 4. Найдите все решения уравнения cos⁡2x+sin^2 x+cos⁡x=0 .Укажите корни, принадлежащие отрезку [-π; π] (Ответ: +- п/2; +-п)

Answer 1

1. Cosα=-√(1-Sin²α)=-√(1-(5\13)²)=-√(1-25\169)=-√144\169=-12\13
2.-Sinx=Cos(-π\3)
-Sinx=Cosπ\3
Ответ: (-1)^n π\6 -π+πk, k∈Z
3. 2Cos²x-Cosx-1=0
Обозначим Cosx=t
2t²-t-1=0
D=9
t₁=1 t₂=-1\2
Cosx=1 x=2πk,k∈Z Cosx=-1\2 x=+-2\3π+2πk, k∈Z
4. Cos2x+Sin²x+Cosx=0
Cos²x-Sin²x+Sin²x+Cosx=0
Cos²x+Cosx=0
Cosx(Cosx+1)=0
Cosx=0 x=π\2+πk, k∈Z
Cosx=-1 x=π+2πk,k∈Z
На отрезке [-π;π] получим значения x: -π;-π\2;π\2;π или +-π\2; +-π

Answer 2

1. Найдем значение cos α, используя тригонометрическое тождество sin^2 α + cos^2 α = 1: sin^2 α + cos^2 α = 1 (5/13)^2 + cos^2 α = 1 25/169 + cos^2 α = 1 cos^2 α = 1 - 25/169 cos^2 α = 144/169 cos α = ±√(144/169) cos α = ±(12/13)

Учитывая, что α находится во II четверти (cos α < 0), выбираем ответ: cos α = -12/13

2. Решение уравнения sin(x + π) = cos(-π/3):

sin(x + π) = cos(-π/3)

Используем тригонометрические тождества: sin(α + π) = -sin(α) и cos(-β) = cos(β)

Это приведет уравнение к виду:

-sin(x) = cos(π/3)

Теперь заметим, что cos(π/3) = 1/2, поэтому уравнение примет вид:

-sin(x) = 1/2

Так как у нас есть угол π/6 (30°) синус которого равен 1/2, то можно записать:

x = π/6 + 2πk, где k - целое число.

Однако, у нас есть еще знак "-". Это означает, что нам также нужно учесть углы с синусом -1/2.

sin(5π/6) = -1/2

Таким образом, добавим новое решение:

x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, окончательное решение:

x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число.

3. Решение уравнения 2cos^2(x) - cos(x) - 1 = 0:

Для удобства заменим cos(x) на y:

2y^2 - y - 1 = 0

Теперь решим уравнение как квадратное уравнение:

Для этого воспользуемся формулой дискриминанта D = b^2 - 4ac:

D = (-1)^2 - 4 * 2 * (-1) = 1 + 8 = 9

Теперь найдем значения y:

y = (-b ± √D) / 2a

y = (1 ± √9) / 4

y = (1 ± 3) / 4

Таким образом, получаем два значения y:

y₁ = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1 y₂ = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Теперь восстановим значение x, используя y = cos(x):

Для y = 1: x = 0 + 2πk, где k - целое число.

Для y = -1/2: x = ±2π/3 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, окончательное решение:

x = 0 + 2πk или x = ±2π/3 + 2πk, где k - целое число.

4. Решение уравнения cos(2x) + sin^2(x) + cos(x) = 0:

Используем тригонометрическое тождество cos^2(θ) + sin^2(θ) = 1:

cos(2x) + 1 + cos(x) = 0

cos(2x) + cos(x) = -1

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для косинуса: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1

Подставим это обратно в уравнение:

2cos^2(x) - 1 + cos(x) = -1

Упростим:

2cos^2(x) + cos(x) = 0

Теперь факторизуем уравнение:

cos(x)(2cos(x) + 1) = 0

Таким образом, имеем два уравнения:

1. cos(x) = 0

2. 2cos(x) + 1 = 0

3. Для уравнения cos(x) = 0, решением являются углы x = π/2 + πk, где k - целое число.

4. Для уравнения 2cos(x) + 1 = 0, решим его:

2cos(x) + 1 = 0 2cos(x) = -1 cos(x) = -1/2

Заметим, что угол π/3 (60°) имеет косинус -1/2:

cos(π/3) = 1/2

Таким образом, у нас есть два решения для этого уравнения:

x = π/3 + 2πk или x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.

Таким образом, окончательное решение:

x = π/2 + πk, x = π/3 + 2πk или x = 5π/3 + 2πk, где k - целое число.