Question

Найти уравнение окружности, если концы одного из ее диаметров находятся в точках A(3, 9) и B(7, 3). Ответ записать в виде общего уравнения кривой второго порядка Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0.

Answer 1

Найдем вектор по координатам начала и конца, потом найдем середину вектора по известной формуле, середина будет являться центром окружности, т.е. по формуле окружности  $O((a,b),R) = (x -a)^2+(y-a)^2 = R^2$.
Перейдем от слов к действию.
Середина отрезка(в нашем случает диаметра) = ${(3+7)/2;(9+3)/2} = {5,6}$ - центр окружности радиуса. 
Находим радиус:
Найдем длину диаметра по точкам  начала и конца = $\sqrt{(7-3)^2+(3-9)^2}=\sqrt{52}=> r = d/2 = \sqrt{13}$
Ответом будет уравнение окружности (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 13 тадааам

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение окружности, зная концы одного из её диаметров, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите координаты центра окружности, который будет находиться точно посередине между точками A(3, 9) и B(7, 3). Для этого вычислите средние значения x и y координат:

   x_среднее = (3 + 7) / 2 = 5 y_среднее = (9 + 3) / 2 = 6

   Таким образом, центр окружности будет иметь координаты (5, 6).

2. Найдите радиус окружности, который равен половине длины диаметра. Для этого вычислите расстояние между центром окружности и одним из концов диаметра, например, точкой A(3, 9). Мы можем использовать формулу для расстояния между двумя точками:

   радиус = √((x_A - x_среднее)^2 + (y_A - y_среднее)^2) = √((3 - 5)^2 + (9 - 6)^2) = √(4 + 9) = √13

3. Теперь у нас есть центр окружности (5, 6) и радиус √13. Мы можем записать уравнение окружности в общем виде:

   (x - x_среднее)^2 + (y - y_среднее)^2 = радиус^2 (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 13

4. Раскроем квадраты в уравнении:

   (x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 13

5. Теперь преобразуем уравнение в общий вид кривой второго порядка, разложив квадраты:

   (x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 12y + 36) = 13

6. Упростим уравнение:

   x^2 - 10x + y^2 - 12y + 25 + 36 - 13 = 0

7. И, наконец, перегруппируем члены уравнения:

   x^2 + y^2 - 10x - 12y + 48 = 0

Таким образом, уравнение окружности в общем виде кривой второго порядка для данной задачи имеет вид:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0, где A = 1, B = 0, C = 1, D = -10, E = -12, F = 48.