Question

Решите уравнение: sin^2(4x)-cos^2(4x)=0

Answer 1

Применена формула двойного угла косинуса

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

$\sin^2(4x) - \cos^2(4x) = 0.$

Используем тригонометрический тождество $\sin^2(x) - \cos^2(x) = -\cos(2x)$:

$-\cos(2 \cdot 4x) = 0.$

Теперь мы имеем:

$\cos(8x) = 0.$

Чтобы найти значения $x$, при которых это уравнение выполняется, нужно найти такие значения аргумента $8x$, при которых косинус равен нулю. Это происходит, когда $8x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ - целое число.

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$8x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$

Отсюда:

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}.$

Таким образом, общее решение уравнения $\sin^2(4x) - \cos^2(4x) = 0$ записывается как:

$x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{8}, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Это уравнение имеет бесконечное множество решений из-за периодичности тригонометрических функций.