Question

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда

Answer 1

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы, => данный прямоугольный параллелепипед - куб

сторона куба а= диаметру сферы d=2R
a=2 
Sполной по. куба=6*S квадрата(одной грани куба)
S п.п=6*2²=6*4=24

S п.п=24

Answer 2

Пусть дан прямоугольный параллелепипед с длиной $a$, шириной $b$ и высотой $c$, описанный вокруг сферы радиуса 1.

В данном случае, сфера радиуса 1 описывает параллелепипед, так что диагональ параллелепипеда равна диаметру сферы, то есть $2 \times 1 = 2$.

Так как параллелепипед описан вокруг сферы, его диагональ можно выразить через размеры сторон параллелепипеда:

$$\text{Диагональ}^2 = \text{Длина}^2 + \text{Ширина}^2 + \text{Высота}^2$$

Подставляя значения, получаем:

$$2^2 = a^2 + b^2 + c^2$$

Также, площадь полной поверхности параллелепипеда можно выразить как сумму площадей его шести граней:

$$\text{Площадь полной поверхности} = 2ab + 2bc + 2ac$$

Теперь мы имеем систему уравнений:

$$\begin{align*} a^2 + b^2 + c^2 &= 4 \\ \text{Площадь полной поверхности} &= 2ab + 2bc + 2ac \end{align*}$$

Мы знаем, что $a \times b \times c$ равно объему параллелепипеда, который можно выразить как треть объема описанной вокруг него сферы радиуса 1. Так как объем сферы $V_{\text{сфера}} = \frac{4}{3}\pi r^3$, где $r = 1$, то объем описанной вокруг параллелепипеда сферы равен $\frac{4}{3}\pi$. Таким образом:

$$a \times b \times c = \frac{1}{3} \times \frac{4}{3}\pi = \frac{4}{9}\pi$$

Мы можем использовать это уравнение для выражения одной из переменных через две другие и подставить это значение в уравнение для площади поверхности параллелепипеда. Например, выразим $c$ через $a$ и $b$:

$$c = \frac{\frac{4}{9}\pi}{ab}$$

Теперь подставим это значение $c$ в уравнение для площади поверхности:

$$\text{Площадь полной поверхности} = 2ab + 2b\left(\frac{\frac{4}{9}\pi}{ab}\right) + 2a\left(\frac{\frac{4}{9}\pi}{ab}\right)$$

Упростив, получим:

$$\text{Площадь полной поверхности} = 2ab + \frac{8}{9}\pi\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\right)$$

Теперь, чтобы найти оптимальные значения $a$ и $b$ (так как $c$ уже выражено через $a$ и $b$), мы можем использовать метод оптимизации для минимизации этой функции площади от двух переменных. Для точного ответа требуется дополнительная математическая работа, так как нетривиально найти аналитическое решение данной задачи оптимизации.