Question

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60∘. Найдите радиус окружности.

Answer 1

Так как две стороны ΔАОВ являются радиусами окружности, то данный треугольник - равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны. Если угол ОАВ равен 60°, то и угол ОВА также равен 60°. Имеем треугольник АОВ, в котором 2 угла по 60°, следовательно, третий угол тоже 60° (по теореме о сумме внутренних углов треугольника). И ΔАОВ - равносторонний.
Таким образом, все стороны данного треугольника равны 6, и радиус окружности также равен 6.

Ответ: радиус окружности равен 6.

Answer 2

Чтобы найти радиус окружности, можно воспользоваться свойствами центрального угла и хорды в окружности.

Известно, что центральный угол AOB равен 360°, так как это полный угол вокруг центра окружности. Также известно, что угол OAB равен 60°.

Давайте рассмотрим треугольник OAB. У нас есть два угла: OAB (60°) и OBA. Так как сумма углов треугольника равна 180°, мы можем найти угол OBA:

OBA = 180° - OAB = 180° - 60° = 120°

Теперь мы знаем два угла треугольника OAB (OBA и OAB) и сторону OA (радиус окружности). Мы можем использовать закон синусов, чтобы найти сторону OB:

sin(OBA) / OB = sin(OAB) / OA

Заменяя известные значения:

sin(120°) / OB = sin(60°) / r

sin(120°) = √3 / 2 sin(60°) = √3 / 2

Теперь уравнение становится:

(√3 / 2) / OB = (√3 / 2) / r

Упрощая:

OB / r = 1

Таким образом, OB = r.

Но OB - это половина хорды AB, а хорда AB равна 6. Так что OB = AB / 2 = 6 / 2 = 3.

Итак, r = OB = 3.

Радиус окружности равен 3.