Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x=a, если f(x)=3x-2/3-x a=2

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x = a$ можно составить, используя производную функции. Производная функции в точке $x = a$ будет равна угловому коэффициенту касательной в этой точке.

Исходно дано: $f(x) = \frac{3x - 2}{3 - x}$ и $a = 2$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3x - 2}{3 - x}\right)$

Применяем правило дифференцирования дроби и цепного правила:

$f'(x) = \frac{(3 - x)(3) - (3x - 2)(-1)}{(3 - x)^2}$

$f'(x) = \frac{9 - 3x + 3x - 2}{(3 - x)^2}$

$f'(x) = \frac{7}{(3 - x)^2}$

Теперь подставляем значение $a = 2$ в производную функции, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке $x = 2$:

$f'(a) = f'(2) = \frac{7}{(3 - 2)^2} = 7$

Угловой коэффициент касательной равен $m = 7$.

Так как касательная проходит через точку $(2, f(2))$, подставляем $x = 2$ в исходную функцию $f(x)$, чтобы найти соответствующее значение $y = f(2)$:

$f(x) = \frac{3x - 2}{3 - x}$ $f(2) = \frac{3 \cdot 2 - 2}{3 - 2} = \frac{4}{1} = 4$

Таким образом, точка на касательной имеет координаты $(2, 4)$.

Используя уравнение прямой $y = mx + b$ и подставив значения $m$ и координаты точки $(2, 4)$, можно найти значение $b$:

$4 = 7 \cdot 2 + b$ $b = -10$

Итак, уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке $x = 2$ имеет вид:

$y = 7x - 10$