Question

Докажите что при любом натуральном n число n^3+3n^2+2n делится на 6.

Answer 1

N(n^2 + 3n + 2) = n(n + 1)(n + 2) - тут уж понятно, что одна скобка кратна 2, а другая 3

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции. Метод индукции состоит в доказательстве утверждения для базового случая (например, n = 1) и в индукционном переходе (доказательстве для n+1, исходя из предположения, что утверждение верно для n).

Шаг 1: Базовый случай (n = 1)

Подставим n = 1 в выражение n^3 + 3n^2 + 2n:

1^3 + 3 * 1^2 + 2 * 1 = 1 + 3 + 2 = 6.

Таким образом, базовый случай верен.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что для некоторого натурального k выполняется условие:

k^3 + 3k^2 + 2k делится на 6.

Шаг 3: Индукционный переход (доказательство для n = k + 1)

Рассмотрим выражение (k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1):

(k + 1)^3 + 3(k + 1)^2 + 2(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3(k^2 + 2k + 1) + 2k + 2.

Теперь воспользуемся индукционным предположением: k^3 + 3k^2 + 2k делится на 6. Это значит, что k^3 + 3k^2 + 2k = 6m, где m - целое число.

Подставим это в выражение:

6m + 3k + 1 + 3(k^2 + 2k + 1) + 2k + 2 = 6m + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k + 2.

Сгруппируем члены:

6m + 6k + 3k^2 + 2 + 3 + 1 + 2k.

Мы видим, что все члены, кроме 3k^2, делятся на 6. Теперь рассмотрим 3k^2. Так как k^3 + 3k^2 + 2k делится на 6 (по индукционному предположению), то и 3k^2 тоже делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что если утверждение верно для n = k, то оно также верно и для n = k + 1.

Следовательно, по принципу математической индукции, утверждение верно для всех натуральных n. Таким образом, число n^3 + 3n^2 + 2n действительно делится на 6 при любом натуральном n.