Question

Докажите,что уравнение ху =2006 (х+у) имеет решения в целых числах.

Answer 1

X=0 y=0 - очевидное решение!

Есть еще - например из очевидных 
x= +- 1003 y= -+2006

из менее очевидных ) 
x= +- 850   y= -+1475

   ну и т.д. 

Answer 2

Для доказательства существования решений уравнения xy = 2006(x + y) в целых числах, давайте рассмотрим его ближе.

Уравнение имеет вид: xy = 2006(x + y)

Распишем правую часть уравнения: xy = 2006x + 2006y

Теперь выразим одну из переменных, например, y, через другую переменную x: y = (2006x) / (x - 2006)

Для целочисленных решений y должно быть целочисленным, следовательно, (2006x) должно делиться на (x - 2006) без остатка.

Попробуем разложить (2006x) на множители и проверить, какие значения x удовлетворяют условию:

2006 = 2 * 17 * 59

Из этого следует, что (2006x) делится на (x - 2006) только тогда, когда (x - 2006) делится на 2, 17 и 59.

Таким образом, чтобы найти целочисленные решения уравнения, необходимо найти такие значения x, для которых (x - 2006) делится на 2, 17 и 59 одновременно.

Например, возьмем x = 2016. Тогда (x - 2006) = 2016 - 2006 = 10, что делится на 2, 17 и 59.

Таким образом, при x = 2016, уравнение xy = 2006(x + y) имеет целочисленное решение: y = (2006 * 2016) / (2016 - 2006) = 4012.

Таким образом, уравнение имеет решения в целых числах, например, при x = 2016 и y = 4012.