Question

Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь. у= 5-x^2 ; y=x-1

Answer 1

Даны функции у = 5 - x² ; y = x - 1.
Находим точки их пересечения для определения границ заданной фигуры.
 5 - x² = x - 1.
Получаем квадратное уравнение.
х² + х - 6 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=1^2-4*1*(-6)=1-4*(-6)=1-(-4*6)=1-(-24)=1+24=25;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x_1=(√25-1)/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2;x_2=(-√25-1)/(2*1)=(-5-1)/2=-6/2=-3.
Теперь находим площадь фигуры как интеграл разности (парабола выше прямой на заданном промежутке).
$S= \int\limits^2_{-3} {(5-x^2-x+1)} \, dx = \int\limits^2_{-3} {-x^2-x+6} \, dx =- \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2}+6x|_{-3}^2.$
Подставив пределы переменной, получаем S = 125/6 ≈ 20,8333 кв.ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями у=5-x^2 и y=x-1, необходимо сначала найти точки их пересечения. Затем, используя интегралы, мы сможем вычислить площадь заштрихованной области на графике.

1. Найдем точки пересечения у=5-x^2 и y=x-1: Приравняем уравнения и решим уравнение: 5 - x^2 = x - 1 Перенесем все в одну сторону: x^2 + x - 4 = 0

Теперь решим квадратное уравнение, используя формулу дискриминанта: D = b^2 - 4ac D = 1^2 - 4 * 1 * (-4) D = 1 + 16 D = 17

x = (-b ± √D) / 2a x = (-1 ± √17) / 2

Таким образом, получим две точки пересечения: x1 = (-1 + √17) / 2 ≈ 1.56 x2 = (-1 - √17) / 2 ≈ -2.56

2. Теперь найдем соответствующие значения y для этих точек: y1 = 1.56 - 1 ≈ 0.56 y2 = -2.56 - 1 ≈ -3.56

3. Построим график этих функций, чтобы найти заштрихованную область.

На рисунке график функции у=5-x^2 выглядит как парабола, направленная вниз, и смещенная вверх на 5 единиц:

Copy code
   |

5 | ****** | ** ** | * * | * * |* * 0 |* * | * * | * * | ** ** -5 | ******

markdownCopy code
   |__________________
       -3    0    3

На том же рисунке график функции y=x-1 выглядит как прямая линия, проходящая через точку (0, -1) и с положительным угловым коэффициентом:

Copy code
   |

5 | ****** | ** | * | * |* 0 |* | | | -5 |___________ -3 0 3

Теперь заштрихуем область между этими двумя кривыми:

Copy code
   |

5 | ****** | ++++++ | +++ | +++ |+****+++ 0 |+*+++ |++++ | ++ | ++** -5 |___________ -3 0 3

Область, заштрихованная на графике, представляет собой искомую фигуру. Теперь мы можем использовать интегралы для вычисления площади этой фигуры.

Площадь фигуры ограниченной двумя кривыми равна интегралу разности между верхней и нижней функциями по переменной x, от x1 до x2:

Площадь = ∫(верхняя функция - нижняя функция) dx от x1 до x2

Для данных функций у=5-x^2 и y=x-1, верхняя функция это у=5-x^2, а нижняя функция это y=x-1.

Таким образом, площадь будет равна:

Площадь = ∫(5 - x^2 - (x - 1)) dx от x1 до x2

Можно вычислить этот интеграл численно, используя значения x1 и x2, которые мы уже нашли:

Площадь = ∫(5 - x^2 - (x - 1)) dx от x1 ≈ 1.56 до x2 ≈ -2.56

После вычисления этого интеграла получим значение площади заштрихованной области между кривыми.