Question

Помогите пожалуйста,прошу!) Решите пожалуйста. Найти значение производной в точке х0 f(x) = 5x^3 -6x^4+3х^2+1, x0 = 1; f(x) = (x^2+1) (x^3-2), х0 = 1; Найдите производную функции: a) f(x)= 2^3x+5, б) f(x) = сos(3x-1); г) f(x) = -2x. Найти угол наклона касательной к графику функции f(x) = 3x^3 -35x+8 в точке х0 = 2.

Answer 1

1) f(x) = 5x^3 - 6x^4 + 3x^2 + 1
f ' (x) = 15x^2 - 24x^3 + 6x
f ' (1) = 15 - 24 + 6 = -3

2) f(x) = (x^2 + 1)(x^3 - 2)
f ' (x) = 2x(x^3-2) + (x^2+1)*3x^2 = 2x^4 - 4x + 3x^4 + 3x^2 = 5x^4 + 3x^2 - 4x
f ' (1) = 5 + 3 - 4 = 4

3) a) f(x) = 2^(3x+5)
f ' (x) = 2^(3x+5)*ln 2*3 = 3ln 2*2^(3x+5)
b) f(x) = cos(3x-1)
f ' (x) = -sin(3x-1)*3 = -3sin(3x-1)
c) f(x) = -2x
f ' (x) = -2

4) Тангенс угла наклона касательной графика к оси в точке равен производной от функции в этой точке.
f(x) = 3x^3 - 35x + 8
f ' (x) = 9x^2 - 35
f ' (2) = 9*4 - 35 = 36 - 35 = 1 = tg a
a = pi/4 = 45°

Answer 2

Давайте решим задачи по порядку:

1. Найти значение производной в точке x0 для функции f(x) = 5x^3 - 6x^4 + 3x^2 + 1, x0 = 1:

Для нахождения производной функции f(x) нужно продифференцировать её по x. Таким образом, производная будет равна: f'(x) = d/dx (5x^3 - 6x^4 + 3x^2 + 1) f'(x) = 15x^2 - 24x^3 + 6x

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x0 = 1, подставим x = 1 в выражение для f'(x): f'(1) = 15(1)^2 - 24(1)^3 + 6(1) f'(1) = 15 - 24 + 6 f'(1) = -3

Ответ: f'(1) = -3.

2. Найти значение производной в точке x0 для функции f(x) = (x^2 + 1) (x^3 - 2), x0 = 1:

Для нахождения производной этой функции также продифференцируем её по x: f'(x) = d/dx ((x^2 + 1) (x^3 - 2)) f'(x) = (x^2 + 1) * d/dx (x^3 - 2) + (x^3 - 2) * d/dx (x^2 + 1)

Применим правило производной произведения функций (производная произведения равна произведению производных): f'(x) = (x^2 + 1) * (3x^2) + (x^3 - 2) * (2x) f'(x) = 3x^4 + x^2 + 2x^4 - 2x

Теперь, чтобы найти значение производной в точке x0 = 1, подставим x = 1 в выражение для f'(x): f'(1) = 3(1)^4 + (1)^2 + 2(1)^4 - 2(1) f'(1) = 3 + 1 + 2 - 2 f'(1) = 4

Ответ: f'(1) = 4.

3. Найти производную функции:

a) f(x) = 2^3x + 5:

Для нахождения производной этой функции используем правило дифференцирования константы и степенной функции: f'(x) = d/dx (2^3x) + d/dx (5) f'(x) = 3 * 2^(3x-1) + 0 (производная константы равна 0) f'(x) = 3 * 2^(3x-1)

Ответ: f'(x) = 3 * 2^(3x-1).

б) f(x) = cos(3x - 1):

Для нахождения производной функции f(x) = cos(3x - 1) используем правило дифференцирования композиции функций: f'(x) = d/dx [cos(3x - 1)] * d/dx (3x - 1) f'(x) = -sin(3x - 1) * 3

Ответ: f'(x) = -3sin(3x - 1).

г) f(x) = -2x:

Для нахождения производной функции f(x) = -2x просто применяем правило дифференцирования линейной функции: f'(x) = -2

Ответ: f'(x) = -2.

4. Найти угол наклона касательной к графику функции f(x) = 3x^3 - 35x + 8 в точке x0 = 2:

Чтобы найти угол наклона касательной к графику функции в заданной точке, нужно найти значение производной функции в этой точке. Мы уже нашли производную функции f(x) = 3x^3 - 35x + 8: f'(x) = 9x^2 - 35

Теперь, чтобы найти угол наклона касательной в точке x0 = 2, подставим x = 2 в выражение для f'(x): f'(2) = 9(2)^2 - 35 f'(2) = 9 * 4 - 35 f'(2) = 36 - 35 f'(2) = 1

Угол наклона касательной к графику функции в точке x0 = 2 равен арктангенсу значения производной в этой точке: Угол наклона = arctan(f'(2)) Угол наклона = arctan(1)

Ответ: Угол наклона касательной к графику функции f(x) = 3x^3 - 35x + 8 в точке x0 = 2 равен arctan(1), который примерно равен 45 градусам.