Question

Интеграл(sqrt(16+x^2)dx)

Answer 1

Sqrt(16+x^2)dx) = sqrt*(16+2x)*dx = sqrtdx*(16+2x) = 16sqrtdx + 2sqrtdx в квадрате

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫√(16 + x^2) dx, воспользуемся подстановкой, которая часто используется для интегрирования функций вида √(a^2 + x^2):

Пусть x = 4 * tan(θ).

Тогда dx = 4 * sec^2(θ) dθ.

Теперь заменим x и dx в исходном интеграле:

∫√(16 + x^2) dx = ∫√(16 + (4 * tan(θ))^2) * 4 * sec^2(θ) dθ = ∫√(16 + 16 * tan^2(θ)) * 4 * sec^2(θ) dθ.

Упростим подкоренное выражение:

√(16 + 16 * tan^2(θ)) = √(16 * (1 + tan^2(θ))) = 4 * √(1 + tan^2(θ)).

Теперь подставим обратно в интеграл:

∫√(16 + x^2) dx = ∫(4 * √(1 + tan^2(θ))) * 4 * sec^2(θ) dθ = 16 * ∫√(1 + tan^2(θ)) * sec^2(θ) dθ.

Теперь воспользуемся тригонометрической тождеством sec^2(θ) = 1 + tan^2(θ):

∫√(16 + x^2) dx = 16 * ∫√(1 + tan^2(θ)) * (1 + tan^2(θ)) dθ = 16 * ∫√(1 + tan^2(θ)) * (1 + tan^2(θ)) dθ.

Обозначим u = √(1 + tan^2(θ)).

Тогда du/dθ = (1/2) * (1 + tan^2(θ))^(-1/2) * 2 * tan(θ) * sec^2(θ) = tan(θ) * sec^2(θ).

Таким образом, dθ = du / (tan(θ) * sec^2(θ)) = du / u.

Теперь интеграл примет вид:

∫(u * u) du = ∫u^2 du = (u^3) / 3 + C, где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь вернемся к переменной x и подставим обратно u:

∫√(16 + x^2) dx = 16 * ∫√(1 + tan^2(θ)) * (1 + tan^2(θ)) dθ = 16 * (u^3) / 3 + C = 16 * (√(1 + tan^2(θ))^3) / 3 + C.

Теперь осталось выразить tan(θ) через x. Изначально мы выбрали x = 4 * tan(θ), поэтому tan(θ) = x / 4.

Таким образом, окончательный ответ:

∫√(16 + x^2) dx = 16 * (√(1 + (x/4)^2))^3 / 3 + C.