Question

Cos2x^(1/3)*sin2x dx найти интеграл

Answer 1

$\int (cos2x)^{1/3}sin2x\, dx=[\, t=cos2x\; ,\; dt=-2sin2x\, dx\, ]=\\\\=-\frac{1}{2} \int t^{1/3}\cdot dt=- \frac{1}{2}\cdot \frac{t^{4/3}}{4/3}+C=- \frac{3}{8}\cdot \sqrt[3]{cos^42x}+C$

Answer 2

Для вычисления интеграла ∫(cos^2(x)^(1/3) * sin(2x)) dx, давайте сделаем замену, чтобы упростить выражение. Положим u = cos^2(x)^(1/3), тогда du = (1/3) * cos^(-1/3)(x) * (-sin(x)) dx.

Теперь заменим sin(2x) в исходном интеграле. Используем тригонометрическую формулу для двойного угла: sin(2x) = 2 * sin(x) * cos(x).

Итак, получаем новый интеграл: ∫(2 * u * sin(x) * cos(x)) dx.

Теперь выразим sin(x) и cos(x) через u: sin(x) = √(1 - cos^2(x)) = √(1 - u^3), а cos(x) = u^(3/2).

Подставим это в интеграл: ∫(2 * u * √(1 - u^3) * u^(3/2)) dx.

Упростим выражение: ∫(2 * u^(5/2) * √(1 - u^3)) dx.

Теперь проведем замену: v = 1 - u^3, тогда dv = -3u^2 du, а u^2 du = -(1/3) dv.

Интеграл становится ∫(-2/3 * v^(5/6)) dv.

Теперь интегрируем по переменной v: ∫(-2/3 * v^(5/6)) dv = (-2/3) * (6/11) * v^(11/6) + C, где С - произвольная постоянная интегрирования.

Возвращаясь к исходной переменной x и подставляя обратно u = cos^2(x)^(1/3) и v = 1 - u^3, получаем окончательный результат:

(-4/11) * (1 - cos^2(x)^(1/3))^((11/6)) + C.