Question

Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями заданными уравнениями в полярных координатах r=1/2+cosФ

Answer 1

...................................

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в полярных координатах r = 1/2 + cos(Φ), нужно найти границы интегрирования для угла Φ, затем интегрировать функцию r^2/2 по этим границам.

Первым шагом найдем точки пересечения кривой с радиусом r = 1/2 + cos(Φ):

1/2 + cos(Φ) = 0

cos(Φ) = -1/2

Угол Φ, удовлетворяющий условию, находится во второй и третьей четверти.

Теперь найдем границы интегрирования для угла Φ:

Φ1 = π + arccos(-1/2) ≈ 2.6179939 радиан Φ2 = 2π - arccos(-1/2) ≈ 3.6651914 радиан

Теперь вычислим площадь фигуры с использованием следующего интеграла:

A = (1/2) * ∫[Φ1 to Φ2] (r^2) dΦ

где r = 1/2 + cos(Φ).

Теперь заменим r в интеграле:

A = (1/2) * ∫[Φ1 to Φ2] [(1/2 + cos(Φ))^2] dΦ

A = (1/2) * ∫[Φ1 to Φ2] [(1/4 + cos^2(Φ) + cos(Φ))] dΦ

A = (1/2) * ∫[Φ1 to Φ2] [1/4 + cos^2(Φ) + cos(Φ)] dΦ

Теперь проинтегрируем:

A = (1/2) * [Φ/4 + (1/2) * sin(2Φ) + sin(Φ)] [Φ1 to Φ2]

A = (1/2) * [(Φ2/4 + (1/2) * sin(2Φ2) + sin(Φ2)) - (Φ1/4 + (1/2) * sin(2Φ1) + sin(Φ1))]

A = (1/2) * [(3.6651914/4 + (1/2) * sin(2 * 3.6651914) + sin(3.6651914)) - (2.6179939/4 + (1/2) * sin(2 * 2.6179939) + sin(2.6179939))]

A ≈ 1.678736 квадратных радиан.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями заданными уравнениями в полярных координатах r = 1/2 + cos(Φ), приближенно равна 1.678736 квадратных радиан.