Question

Помогите решить интеграл cos2x/cos^4x

Answer 1

$\int\limits^a_b \frac{cos2x}{ cos^{4} x} \, dx =- \frac{1}{3} tgx(sec^2x-4)$

Answer 2

Для решения данного интеграла, воспользуемся методом замены переменной.

Заметим, что в числителе у нас стоит cos^2(x), что можно представить в виде:

cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Теперь интеграл можно переписать в следующем виде:

∫(cos^2(x) / cos^4(x)) dx = ∫((1 + cos(2x)) / (2*cos^4(x))) dx

Теперь произведем замену переменной. Положим:

u = cos(x)

Тогда:

du/dx = -sin(x) dx = du / (-sin(x))

Также, мы можем выразить sin^2(x) через cos^2(x) и использовать это в знаменателе:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

sin^2(x) = 1 - u^2

Подставляя все это в интеграл, получаем:

∫((1 + cos(2x)) / (2cos^4(x))) dx = ∫((1 + 2u^2) / (2u^4)) * (du / (-sin(x)))

Теперь у нас интеграл зависит только от переменной u:

∫((1 + 2u^2) / (2*u^4)) * (du / (-sin(x)))

∫((1 + 2u^2) / (2*u^4)) * (-du)

Теперь произведем расчет этого интеграла:

∫((1 + 2u^2) / (2*u^4)) * (-du)

(-1/2) ∫(1/u^4) du + (-1/2) ∫(2/u^2) du

(-1/2) * (-1/3u^3) - (-1/2) * (2/u)

1/6u^3 + 1/u + C

Теперь вернемся к исходной переменной:

1/6 * cos^3(x) + csc(x) + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.