Question

Решить уравнение sin^16(x)+cos^20(x)=1

Answer 1

Решение смотри ниже.

Answer 2

Для решения уравнения sin^16(x) + cos^20(x) = 1, нам нужно использовать тригонометрические тождества и свойства тригонометрических функций. Начнем:

1. Используем тригонометрическое тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

2. Возводим обе части тождества в четвертую степень, чтобы избавиться от степеней 16 и 20: (sin^2(x) + cos^2(x))^8 = 1^8 sin^16(x) + 8 * sin^14(x) * cos^2(x) + 28 * sin^12(x) * cos^4(x) + 56 * sin^10(x) * cos^6(x) + 70 * sin^8(x) * cos^8(x) + 56 * sin^6(x) * cos^10(x) + 28 * sin^4(x) * cos^12(x) + 8 * sin^2(x) * cos^14(x) + cos^16(x) = 1

3. Поскольку sin^2(x) + cos^2(x) = 1, то все слагаемые кроме sin^16(x) и cos^16(x) обращаются в ноль: sin^16(x) + cos^16(x) = 1

4. Вспоминаем тождество: sin^2(x) + cos^2(x) = 1, но возведенное в восьмую степень: (sin^2(x) + cos^2(x))^8 = 1^8 sin^16(x) + 8 * sin^14(x) * cos^2(x) + 28 * sin^12(x) * cos^4(x) + 56 * sin^10(x) * cos^6(x) + 70 * sin^8(x) * cos^8(x) + 56 * sin^6(x) * cos^10(x) + 28 * sin^4(x) * cos^12(x) + 8 * sin^2(x) * cos^14(x) + cos^16(x) = 1

5. Теперь, используя то, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, мы можем упростить уравнение: 1 + 8 * sin^14(x) * cos^2(x) + 28 * sin^12(x) * cos^4(x) + 56 * sin^10(x) * cos^6(x) + 70 * sin^8(x) * cos^8(x) + 56 * sin^6(x) * cos^10(x) + 28 * sin^4(x) * cos^12(x) + 8 * sin^2(x) * cos^14(x) = 1

6. Заметим, что все слагаемые, начиная со второго, содержат произведение sin^m(x) * cos^n(x), где m + n = 14 или 12 или 10 или 8 или 6 или 4 или 2. Эти слагаемые равны нулю, так как произведение синуса и косинуса даёт ноль при определенных значениях аргумента. Таким образом, уравнение сводится к: 1 + 1 = 1

7. Получили тождество 1 = 1. Это означает, что уравнение истинно для всех значений x.

Таким образом, исходное уравнение sin^16(x) + cos^20(x) = 1 верно для всех значений x.